Loi d'inertie de Sylvester

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, la loi d'inertie de Sylvester, formulée dans le cas réel par James Joseph Sylvester en 1852^[1], est un théorème de classification des formes quadratiques sur un ${\displaystyle \mathbb {K} }$-espace vectoriel V où ${\displaystyle \mathbb {K} }$ désigne un corps ordonné. À l'aide d'un changement de variables approprié, tout polynôme homogène de degré 2 à coefficients réels et à n variables peut s'écrire sous la forme d'une somme de carrés, précédés de signes + ou – (cette écriture s'appelle la réduction de Gauss) ; la loi d'inertie dit que le nombre de signes + et le nombre de signes – ne dépendent pas du changement de variable utilisé^[2].

Énoncé

Définitions. L'indice d'inertie (ou plus brièvement l'indice) d'une forme quadratique Q sur un ${\displaystyle \mathbb {K} }$-espace vectoriel V de dimension finie n est la dimension maximale des sous-espaces F de V tels que ${\displaystyle Q(v)<0}$ pour tout ${\displaystyle v\in F\setminus \{0\}}$ (où ${\displaystyle <}$ désigne la relation d'ordre stricte naturelle sur ${\displaystyle \mathbb {K} }$).

Soit q l'indice de la forme quadratique Q, et soit p la dimension maximale des sous-espaces G de V tels que ${\displaystyle Q(v)>0}$ pour tout ${\displaystyle v\in G\setminus \{0\}}$, autrement dit tels que la restriction de Q à G soit définie positive.

Le couple (p, q) s'appelle la signature de Q^[3].

L'indice d'une forme définie positive est nul ; sa signature est (n, 0). L'indice d'une forme définie négative (c'est-à-dire telle que –Q soit définie positive) est égal à n ; sa signature est (0, n).

Loi d'inertie de Sylvester — Soit Q une forme quadratique sur un ${\displaystyle \mathbb {K} }$-espace vectoriel V (où ${\displaystyle \mathbb {K} }$ est un corps ordonné) de signature (p, q). Pour toute base ${\displaystyle (e_{i})}$ orthogonale pour Q on a

${\displaystyle p=\mathrm {card} (\{i\mid Q(e_{i})>0\}){\text{ et }}q=\mathrm {card} (\{i\mid Q(e_{i})<0\})}$.

Le rang de Q est égal à p + q ; Si de plus, ${\displaystyle \mathbb {K} }$ est quadratiquement clos, alors deux formes quadratiques sur V sont équivalentes si et seulement si elles ont même signature.

Démonstration

Soient ${\displaystyle e=(e_{1},\ldots ,e_{n})}$ et ${\displaystyle e'=(e'_{1},\ldots ,e'_{n})}$ deux bases orthogonales. Désignons provisoirement par r et r' (resp. s et s' ) le nombre de vecteurs de chaque base pour lesquels Q est strictement positive (resp. strictement négative). On va d'abord montrer que r = r' et s = s'.

On note ${\displaystyle I=\{{i\mid Q(e_{i})>0\}}}$ et ${\displaystyle J=\{{j\mid Q(e'_{j})\leqslant 0\}}}$.

Alors la famille constituée des vecteurs ${\displaystyle (e_{i})_{i\in I}}$ et ${\displaystyle (e'_{j})_{j\in J}}$ est libre. En effet, si ${\displaystyle \sum _{i\in I}x_{i}.e_{i}+\sum _{j\in J}y_{j}.e'_{j}=0_{V}}$, le vecteur ${\displaystyle z=\sum _{i\in I}x_{i}e_{i}=-\sum _{j\in J}y_{j}e'_{j}}$ vérifie ${\displaystyle Q(z)=\sum _{i\in I}x_{i}^{2}Q(e_{i})=\sum _{j\in J}y_{j}^{2}Q(e'_{j})}$^[4]. La définition de I et J implique la nullité de tous ${\displaystyle x_{i},i\in I}$ par antisymétrie. Alors ${\displaystyle \sum _{j\in J}y_{j}.e'_{j}=0_{V}}$, d'où cette fois la nullité des ${\displaystyle y_{j},j\in J}$. L'indépendance obtenue implique ${\displaystyle \mathrm {card} I+\mathrm {card} J\leqslant n}$, soit ${\displaystyle r+(n-r')\leqslant n}$ et donc ${\displaystyle r\leqslant r'}$. Par symétrie des rôles de ${\displaystyle e}$ et ${\displaystyle e'}$, ${\displaystyle r'\leqslant r}$ et donc par antisymétrie r = r'. Le même argument montre que s = s'.

Soit maintenant F un sous-espace de dimension maximale q sur lequel Q est définie négative, et ${\displaystyle F^{\perp }}$ son sous-espace orthogonal. Comme tout vecteur v de ${\displaystyle F\cap F^{\perp }}$ vérifie ${\displaystyle Q(v)=0}$, on a ${\displaystyle F\cap F^{\perp }=0}$. Comme d'autre part ${\displaystyle \dim F+\dim F^{\perp }\geq n}$,

on a ${\displaystyle V=F\bigoplus F^{\perp }\quad {\text{(somme directe)}}}$.

On peut donc trouver une base orthogonale ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$ dont les q premiers vecteurs forment une base de F et les n – q suivant une base de l'orthogonal de F. Mais ${\displaystyle Q(e_{i})\geq 0}$ pour i > q : sinon, sur l'espace ${\displaystyle F\bigoplus \mathbb {K} e_{i}}$, la forme Q serait encore définie négative, contrairement à l'hypothèse de dimension maximale pour F. D'après la première partie de la preuve, q = s ; de même, p = r.

Dans une base orthogonale, Q s'écrit donc ${\displaystyle -\sum _{i=1}^{q}c_{i}x_{i}^{2}+\sum _{i=q+1}^{q+p}c_{i}x_{i}^{2}}$

où les ${\displaystyle x_{i}}$ sont les coordonnées par rapport à cette base, les ${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {K} }$ sont strictement positifs. Si ${\displaystyle \mathbb {K} }$ est quadratiquement clos, dans la base orthogonale obtenue en remplaçant ${\displaystyle e_{i}\,(1\leq i\leq p+q)}$ par ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {c_{i}}}}e_{i}}$, Q s'écrit

${\displaystyle -\sum _{i=1}^{q}x_{i}^{2}+\sum _{i=q+1}^{q+p}x_{i}^{2}}$,

ce qui montre que deux formes de même signature sont équivalentes. (La condition est nécessaire : si ${\displaystyle Q^{\prime }=Q\circ \phi }$, où ${\displaystyle \phi :V\rightarrow V}$ est linéaire inversible, l'image par ${\displaystyle \phi }$ d'une base orthogonale pour Q' est orthogonale pour Q.)

Commentaires généraux

• Une retombée de la preuve est le fait que pour ${\displaystyle \mathbb {K} }$ de caractéristique différente de ${\displaystyle 2}$, la réduction de Gauss, quelle que soit la façon dont on s'y prend, donne le même nombre de « carrés positifs » et de « carrés négatifs ».

Commentaires sur le cas réel

On considère maintenant le cas particulier important ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$.

• En multipliant les vecteurs d'une base orthogonale par des constantes convenables, on peut supposer se ramener au cas où les ${\displaystyle e_{i}}$ tels que ${\displaystyle Q(e_{i})\not =0}$ vérifient ${\displaystyle Q(e_{i})=\pm 1}$. Par rapport à une telle base, Q s'écrit${\displaystyle -\sum _{i=1}^{q}x_{i}^{2}+\sum _{i=q+1}^{q+p}x_{i}^{2}.}$
• En termes de matrices, on a un énoncé équivalent : si A est la matrice de Q dans une base, il existe une matrice inversible P telle que${\displaystyle P^{T}AP={\begin{pmatrix}-I_{q}&0&0\\0&I_{p}&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}.}$Autrement dit, la matrice de la forme est congruente à une matrice diagonale n'ayant que des 0, 1 et –1 sur la diagonale ; la classe de congruence est caractérisée par les entiers p et q.
• On peut dire aussi que deux formes quadratiques réelles sont équivalentes si elles ont même rang et même indice d'inertie.
• On a une décomposition orthogonale${\displaystyle V=F\oplus G\oplus \operatorname {rad} (Q)}$où
  • Q est définie négative sur F (qui est de dimension q) et définie positive sur G (qui est de dimension p).
  • Cette décomposition n'est pas unique. Elle est déterminée par le choix de F (ou celui de G).
• Ce théorème montre que l'indice d'isotropie total^[5] de Q est égal à inf(p, q) + n – r.
  Deux formes quadratiques réelles de même rang et de même indice d'isotropie total sont équivalentes au signe près.
• Compte tenu des contraintes évidentes de dimension ${\displaystyle (0\leq q\leq r\leq n)}$, il y a ${\displaystyle (n+1)(n+2)/2}$ classes d'équivalence de formes quadratiques sur un espace vectoriel réel de dimension n.

Exemples

• La forme quadratique${\displaystyle Q(x,y,z,t)=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2},}$associée à un espace de Minkowski en relativité restreinte, a pour rang 4 et pour signature (1, 3).
• Puisque ${\displaystyle 4(xy+yz+zt+xt)=(x+y+z+t)^{2}-(x+z-y-t)^{2},}$la forme Q(x, y, z, t) = 4(xy + yz + zt + xt) est de rang 2 et a pour signature (1, 1) et pour indice 1.
• Sur l'espace des matrices réelles 2×2, le déterminant est une forme quadratique de signature (2, 2). En effet, pour a, b, c, d réels on a

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc={\frac {1}{4}}(a+d)^{2}-{\frac {1}{4}}(a-d)^{2}-{\frac {1}{4}}(b+c)^{2}+{\frac {1}{4}}(b-c)^{2}.}$

Cette forme quadratique peut être restreinte à des sous-espaces particuliers, ce qui permet de construire des isomorphismes « exceptionnels » entre groupes de Lie de petit rang.

• Sur l'espace ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {R} )}$ des matrices réelles 2×2 de trace nulle, l'opposé du déterminant est une forme quadratique de signature (2, 1). En effet, une telle matrice est de la forme

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}}$ avec a, b, c réels, et ${\displaystyle -\det A=a^{2}-bc=a^{2}+{\frac {1}{4}}(b-c)^{2}-{\frac {1}{4}}(b+c)^{2}}$.

Le groupe ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ agit par conjugaison sur ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {R} )}$ car la conjugaison préserve la trace. Cette action préserve le déterminant et induit un morphisme ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )\to \mathrm {SO} ^{+}(2,1)}$ qui se trouve être un isomorphisme.

• Sur l'espace ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ des matrices réelles 2×2 anti-hermitiennes (matrices A telles que ${\displaystyle {\overline {A}}{}^{\mathsf {T}}=-A}$) et de trace nulle, le déterminant est une forme quadratique de signature (3, 0). En effet, une telle matrice est de la forme

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a\mathrm {i} &b+c\mathrm {i} \\-b+c\mathrm {i} &-a\mathrm {i} \end{pmatrix}}}$ avec a, b, c réels, et ${\displaystyle \det A=a^{2}+b^{2}+c^{2}}$.

Comme ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ est l'algèbre de Lie du groupe ${\displaystyle \mathrm {SU} _{2}(\mathbb {C} )}$, l'action par conjugaison de ce groupe sur son algèbre de Lie, qui préserve le déterminant, permet de construire un morphisme ${\displaystyle \mathrm {SU} _{2}(\mathbb {C} )\to \mathrm {SO} _{3}(\mathbb {R} )}$ qui se trouve être le revêtement universel du groupe des rotations de l'espace.

Remarques diverses

Relation avec les valeurs propres

On peut déterminer directement la signature de la forme Q à l'aide des valeurs propres de la matrice de cette forme, M. En effet, M est diagonalisable (d'après le théorème spectral), et ce dans une base qui vérifie les conditions du théorème précédent ; on en déduit que le rang de M, et donc de Q, est le nombre de ses valeurs propres non nulles (comptées avec leur multiplicité), et que q est le nombre des valeurs propres de M strictement négatives^[6].

À propos de la terminologie

Concernant l'indice et la signature, plusieurs terminologies coexistent dans la communauté scientifique. Cela est rappelé en note pour l'indice. Certains auteurs appellent signature l'entier relatif p-q (différence des dimensions entre les sous-espaces "positifs" et "négatifs" maximaux).

Applications

Calcul différentiel

Soit f une fonction C² sur ℝⁿ, dont la différentielle s'annule en 0. Supposons que la forme quadratique définie par la matrice hessienne soit non dégénérée d'indice e. Alors il existe un sous-espace vectoriel V de dimension e tel que la restriction de f à V admette un maximum local strict en 0. De plus, e est la dimension maximale d'un sous-espace ayant cette propriété.

Il existe de même un supplémentaire W de V tel que la restriction de f à W admette un minimum local strict en 0.

Grosso modo, l'indice mesure ici la non-minimalité en un point critique.

Ces propriétés subsistent sur les variétés différentielles. Elles sont à la base de la théorie de Morse.

Géométrie

Soit Q une forme quadratique sur ℝ³. La surface d'équation Q(x, y, z) = 1 est homéomorphe (et même difféomorphe) à :

• la sphère S² si Q est définie positive.
• S¹ × ℝ si Q est de signature (2, 1) (hyperboloïde à une nappe).
• S⁰ × ℝ² = {–1, 1} × ℝ² si Q est de signature (1, 2) (hyperboloïde à deux nappes).

Le mot nappe désigne ce qu'on appelle aujourd'hui composante connexe.

Plus généralement, si Q est une forme quadratique sur ℝⁿ de signature (p, q), l'hypersurface d'équation Q(x) = 1 est homéomorphe (et même difféomorphe) à S^{p – 1} × ℝ^{n – p}.

Exemple. Sur l'espace vectoriel des matrices réelles (2,2), le déterminant est une forme quadratique de signature (2,2). Par conséquent, le groupe spécial linéaire SL(2, ℝ) est homéomorphe à S¹ × ℝ²

Notes et références

1. Sylvester 1852.
2. J. Lelong-Ferrand et J.-M. Arnaudiès, Cours de mathématiques, tome 1 : Algèbre, 2^e éd., Paris, Dunod, 1974, p. 373.
3. Jean Fresnel, Espaces quadratiques, euclidiens, hermitiens, Paris, Hermann, 1999, 320 p. (ISBN 2-7056-1445-1), p. 63.
4. Par une propriété élémentaire des formes quadratiques.
5. Voir aussi art. 348E de l'Encyclopedic Dictionary of Mathematics, ed. K. Itô, vol. 3, Cambridge et London: MIT Press, 1987.
6. (en) Serge Lang, Algebra, Reading, Addison-Wesley, 1977, p. 358-366.

Voir aussi

Bibliographie

• Marcel Berger, Géométrie [détail des éditions], Nathan, Paris, 1990, tome 2, 13.4.7
• Jean Fresnel, Espaces quadratiques, euclidiens, hermitiens, Paris, Hermann, 1999, 320 p. (ISBN 2-7056-1445-1)
• Guy Auliac, Jean Delcourt et Rémy Goblot, Mathématiques : algèbre et géométrie, EdiScience, Dunod, coll. « Objectif licence », 2005 (ISBN 2-10-048335-8)
• [Sylvester 1852] (en) J. J. Sylvester, « A demonstration of the theorem that every homogeneous quadratic polynomial is reducible by real orthogonal substitutions to the form of a sum of positive and negative squares », Philos. Mag., 4^e série, vol. 4, n^o 23,‎ 1852, n^o XIX, p. 138-142 (OCLC 7317544727, DOI 10.1080/14786445208647087), réimpr. dans :
  • [Baker et Sylvester 1904] (en) H. F. Baker (éd., préf. et annot.) et J. J. Sylvester, The collected mathematical papers of James Joseph Sylvester, t. I^er : 1837-1853, Cambridge, CUP, hors coll., avr. 1904 (réimpr. fév. 2012), 1^re éd., 1 vol., XII-650, fig. et pl., in-4^o (17 × 24,4 cm) (ISBN 978-1-107-65032-9, EAN 9781107650329, OCLC 459169152, BNF 31425191, SUDOC 019470991, présentation en ligne, lire en ligne), n^o 47, p. 378-381.

Articles connexes

• Matrice définie positive
• Matrice de passage
• Théorèmes de Sylvester 
• Signature (topologie) (en)

Lien externe

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