Corps quadratiquement clos

En algèbre, un corps quadratiquement clos est un corps commutatif dans lequel tout élément possède une racine carrée^[1].

Exemples

• Tout corps algébriquement clos est quadratiquement clos.
• La clôture quadratique d'un corps (voir exemples ci-dessous) est — par définition — quadratiquement close.

Propriétés

Pour tout corps F, les propriétés suivantes sont équivalentes :

• F est quadratiquement clos ;
• son u-invariant (en) est égal à 1, c'est-à-dire que toute forme quadratique sur F de dimension > 1 est isotrope ;
• son anneau de Witt-Grothendieck est isomorphe à ℤ par le morphisme dimension^[2] ;
• son groupe de Witt est d'ordre 2.

Tout corps quadratiquement clos est à la fois pythagoricien et non formellement réel mais la réciproque est fausse (penser aux corps de caractéristique 2).

Soit E/F une extension finie avec E quadratiquement clos. Alors, ou bien −1 est un carré dans F et F est quadratiquement clos, ou bien −1 n'est pas un carré dans F et F est euclidien (c'est une conséquence du théorème de Diller-Dress)^[3].

Clôture quadratique

Pour tout corps F, il existe une « plus petite » extension quadratiquement close de F. Cette extension, qui est donc unique à isomorphisme près, est appelée « la » clôture quadratique de F. On peut la construire comme sous-corps de « la » clôture algébrique F^alg de F, en prenant la réunion de toutes les tours d'extensions quadratiques sur F dans F^alg. Lorsque la caractéristique de F est différente de 2, c'est donc la réunion des 2-extensions finies de F dans F^alg, c'est-à-dire toutes les extensions galoisiennes de degré égal à une puissance de 2^[4].

Par exemple :

• la clôture quadratique de tout corps euclidien F est l'extension quadratique F(√−1)[4] (elle est algébriquement close si et seulement si F est réel clos) ;
• la clôture quadratique du corps fini F5 est — dans sa clôture algébrique qui est la réunion des F5m pour tout entier naturel m — la réunion des F5(2n)[4] ;
• la clôture quadratique de ℚ est — dans ℚ — le sous-corps des nombres complexes constructibles[4].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Quadratically closed field » (voir la liste des auteurs).

1. (en) Tsit-Yuen Lam, Introduction to Quadratic Forms over Fields, AMS, coll. « Graduate Studies in Mathematics » (n^o 67), 2005 (ISBN 978-0-8218-7241-3, lire en ligne), p. 33.
2. Lam 2005, p. 34.
3. Lam 2005, p. 270.
4. Lam 2005, p. 220.