Opérateur (mathématiques)

En mathématiques et en physique théorique, un opérateur est une application entre deux espaces vectoriels topologiques.

Définition d'un opérateur

Définition

Soient E et F deux espaces vectoriels topologiques. Un opérateur O est une application de E dans F :

${\displaystyle O\ :\quad E\ \to \ F}$

Opérateur linéaire

Un opérateur ${\displaystyle O:E\to F}$ est linéaire si et seulement si :

${\displaystyle \forall (\lambda ,\mu )\in K^{2},\ \forall (x_{1},x_{2})\in E^{2},\quad O(\lambda x_{1}+\mu x_{2})\ =\ \lambda O(x_{1})+\mu O(x_{2})}$

où K est le corps des scalaires de E et F.

Remarque

Lorsque E est un ${\displaystyle \mathbb {K} }$-espace vectoriel, et que ${\displaystyle F=\mathbb {K} }$ (c'est un corps), un opérateur est une forme linéaire sur E.

Domaine (de définition)

On étend la définition précédente à des applications linéaires définies seulement sur un sous-espace vectoriel de E, qu'on appelle alors domaine de définition de l'opérateur.

Continuité

Par définition de la continuité :

• Soient O un opérateur de domaine ${\displaystyle D_{0}\subset E}$ et à valeurs dans F, et ${\displaystyle x_{0}\in D_{O}}$. L'opérateur O est dit continu en ${\displaystyle x_{0}}$ si et seulement si pour tout voisinage V de ${\displaystyle y_{0}=O(x_{0})}$, il existe un voisinage ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle x_{0}}$ tel que :

${\displaystyle \forall x\,\in \,U\cap D_{O}\ ,\quad O(x)\,\in \,V}$

• L'opérateur O est dit continu si et seulement s'il est continu en tous les points ${\displaystyle x_{0}\in D_{O}}$ de son domaine.

Articles connexes

• Espace de Banach
• Espace de Hilbert
• Mécanique quantique
• Opérateur compact
• Opérateur différentiel
• Théorie ergodique
• Théorie quantique des champs axiomatique
• Unicode
  • Table des caractères Unicode/U2200
  • Table des caractères Unicode/U2A00

Bibliographie

• A. N. Kolmogorov et S. V. Fomin, Introductory Real Analysis, Dover Publications, Inc. (1975), (ISBN 0-486-61226-0).

• T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators, série : Classics in Mathematics, Springer-Verlag (2^e édition-1995), (ISBN 3-540-58661-X).

• B. Yosida, Functional Analysis, série : Classics in Mathematics, Springer-Verlag (6^e édition-1995), (ISBN 3-540-58654-7).