Constantes de Landau

Définition

Soit $F$ l'ensemble des fonctions holomorphes $f$ sur le disque unité ouvert $D$ et telles que

f'(0)=1

.

Pour toute fonction $f \in F$ , on définit :

$L f$ , la borne supérieure des rayons des disques inclus dans l'image de $f$ ;
$B f$ , la borne supérieure des rayons des disques qui sont (par $f$ ) images biholomorphes d'une partie de $D$ .

La constante de Bloch (en) $B$ et la constante de Landau $L$ sont alors définies par :

\mathrm {B} =\inf {\{\mathrm {B} _{f}\mid f\in F\}}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {L} =\inf {\{\mathrm {L} _{f}\mid f\in F\}}

.

Landau s'est aussi intéressé à la constante $A$ définie par

\mathrm {A} =\inf {\{\mathrm {B} _{f}\mid f\in F_{\text{inj}}\}}=\inf {\{\mathrm {L} _{f}\mid f\in F_{\text{inj}}\}}

.

où $F inj$ est l'ensemble des fonctions $f \in F$ qui sont injectives, donc biholomorphes de $D$ sur $f (D)$ .

Les valeurs exactes de $B$ , $L$ et $A$ ne sont pas connues, mais on sait que $B < L < A$ , et plus précisément :

$0{,}4332\approx {{\sqrt {3}} \over 4}+2\times 10^{-4}<\mathrm {B} \leq {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)\Gamma \left({\frac {11}{12}}\right)}{{\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}\;\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}}\approx 0{,}4719$ ^[2] ;
$0{,}5<\mathrm {L} \leq {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)\Gamma \left({\frac {5}{6}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{6}}\right)}}\approx 0{,}5432$ ^[3] ;
$0{,}566<\mathrm {A} <0{,}658$ ^[1]^,^[4].

↑ ^{a et b} (de) Edmund Landau, « Über die Blochsche Konstante und zwei verwandte Weltkonstanten », Math. Z., vol. 30, n^o 1,‎ 1929, p. 608-634 (DOI 10.1007/BF01187791, lire en ligne).
↑ (en) Eric W. Weisstein, « Bloch Constant », sur MathWorld.
↑ (en) Eric W. Weisstein, « Landau Constant », sur MathWorld.
↑ (en) R. M. Robinson, « The Bloch constant ${\mathfrak {A}}$ for a schlicht function », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 41, n^o 8,‎ 1935, p. 535-540 (lire en ligne).