Branko Pešić est né le à Zemun, où il effectua ses études élémentaires et secondaires ; dès le lycée, il rejoignit le mouvement de la jeunesse révolutionnaire et devint membre de la Ligue de la jeunesse communiste de Yougoslavie (en serbe : Savez komunističke omladine Jugoslavije ; en abrégé : SKOJ). Après le lycée, Branko Pešić suivit les cours de la faculté de droit de l'université de Belgrade.
Après la libération de la Yougoslavie, il étudia à l'école supérieure de sciences politiques Đuro Đaković et exerça diverses fonctions en tant que travailleur social et politique. Il devint membre et secrétaire du comité du parti communiste de Zemun, secrétaire du comité la Ligue de la jeunesse communiste de Yougoslavie (SKOJ) à Zemun, membre du comité du SKOJ pour la ville de Belgrade, membre et secrétaire du comité municipal de la Ligue des communistes de Yougoslavie et président du conseil municipal de la Ligue socialiste des travailleurs de Yougoslavie (Socijalistički savez radnog naroda Jugoslavije ; en abrégé : SSRN) à Belgrade.