Base orthonormée

En géométrie vectorielle, une base orthonormale ou base orthonormée (BON) d'un espace euclidien ou hermitien est une base de cet espace vectoriel constituée de vecteurs de norme 1 et orthogonaux deux à deux. Dans une telle base, les coordonnées d'un vecteur quelconque de l'espace sont égales aux produits scalaires respectifs de ce vecteur par chacun des vecteurs de base, et le produit scalaire de deux vecteurs quelconques a une expression canonique en fonction de leurs coordonnées.

Définitions

Dans un espace préhilbertien E (c'est-à-dire un espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire), une famille (v_i)_i∈I de vecteurs est dite orthogonale^[1],[2] si ces vecteurs sont orthogonaux deux à deux :

${\displaystyle \forall i,j\in I\quad \left(i\neq j\Rightarrow v_{i}\perp v_{j}\right).}$

Une telle famille est dite orthonormale^[1],[2] si de plus tous ses vecteurs sont unitaires :

${\displaystyle \forall i\in I\quad \|v_{i}\|=1.}$

En résumé, une famille (v_i)_i∈I est orthonormale si ∀i, j ∈ I ⟨v_i, v_j⟩ = δ_i,j.

Toute famille orthogonale formée de vecteurs non nuls est libre^[1],[2].

Une famille orthonormale est donc libre. Elle est appelée base orthonormale de E si elle est de plus génératrice de E, autrement dit si c'est une base de E^[1],[2].

Si l'espace préhilbertien E est euclidien ou hermitien, c'est-à-dire s'il est de dimension finie, une famille orthonormale est une base si et seulement si elle contient n vecteurs, où n est la dimension de E^[1],[2].

Dans la suite de l'article, E_n désigne un espace euclidien de dimension n.

Repère orthonormal (ou orthonormé)

Soient A_n un espace affine euclidien associé à l'espace vectoriel euclidien E_n et O un point quelconque de A_n, alors un repère affine

${\displaystyle {\mathcal {R}}=(\ O,{\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},...,{\vec {e}}_{n})}$

est dit orthonormal si sa base associée ${\displaystyle {\mathcal {B}}=({\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},...,{\vec {e}}_{n})}$ est elle-même orthonormale.

En géométrie dans l'espace

En géométrie dans l'espace, la base est en général notée ${\displaystyle ({\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}})}$ au lieu de ${\displaystyle ({\vec {e_{1}}},{\vec {e_{2}}},{\vec {e_{3}}})}$.

Si la base est directe, alors ${\displaystyle {\vec {k}}}$ est le produit vectoriel de ${\displaystyle {\vec {i}}}$ et de ${\displaystyle {\vec {j}}}$ (c'est-à-dire ${\displaystyle {\vec {k}}={\vec {i}}\wedge {\vec {j}}}$).

Propriétés

Existence de bases orthonormales

À partir d'une base quelconque d'un espace euclidien, le procédé de Gram-Schmidt fournit une méthode constructive pour obtenir une base orthonormale de cet espace. Notamment, on peut affirmer :

Dans tout espace euclidien de dimension non nulle, il existe des bases orthonormales.

En appliquant ce résultat à l'orthogonal de l'espace engendré par une famille orthonormale de p vecteurs de E_n, on établit le théorème de la base orthonormale incomplète :

Toute famille orthonormale de vecteurs d'un espace euclidien peut être complétée en une base orthonormale de cet espace.

L'existence de bases orthonormales permet d'établir que l'infinité de structures euclidiennes dont peut être muni un espace vectoriel — avec des notions d'orthogonalité différentes — sont toutes isomorphes entre elles^[3].

Calculs dans une base orthonormale

Soit ${\displaystyle {\mathcal {B}}=({\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},...,{\vec {e}}_{n})}$ une base orthonormale de E_n.

La décomposition d'un vecteur de E_n dans cette base est donnée par :

${\displaystyle \forall {\vec {x}}\in E_{n},{\vec {x}}=\sum _{i=1}^{n}({\vec {e}}_{i}\cdot {\vec {x}}){\vec {e}}_{i}}$.

L'expression du produit scalaire de deux vecteurs de E_n est alors donnée par :

${\displaystyle \forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in E_{n},({\vec {x}}\cdot {\vec {y}})=\sum _{i=1}^{n}({\vec {e}}_{i}\cdot {\vec {x}})({\vec {e}}_{i}\cdot {\vec {y}})}$.

L'expression du carré de la norme d'un vecteur de E_n est donc :

${\displaystyle \forall {\vec {x}}\in E_{n},\|{\vec {x}}\|^{2}=\sum _{i=1}^{n}({\vec {e}}_{i}\cdot {\vec {x}})^{2}}$.

Ces trois propriétés sont en fait équivalentes entre elles, et équivalentes au fait que la famille ${\displaystyle {\mathcal {B}}=({\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},...,{\vec {e}}_{n})}$ soit une base orthonormale de E_n.

• Si u est un endomorphisme de E_n, sa matrice dans la base ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ est :${\displaystyle M=[({\vec {e}}_{i}\cdot u({\vec {e}}_{j}))]_{1\leq i,j\leq n}.}$Cela permet de caractériser les endomorphismes symétriques ou les automorphismes orthogonaux par leurs matrices dans une base orthonormale : elles sont respectivement symétriques et orthogonales.
• Si E_n est un sous-espace vectoriel d'un espace préhilbertien E, la projection orthogonale ${\displaystyle p({\vec {x}})}$ sur E_n d'un vecteur ${\displaystyle {\vec {x}}}$ de E a pour expression${\displaystyle p({\vec {x}})=\sum _{i=1}^{n}({\vec {e}}_{i}\cdot {\vec {x}}){\vec {e}}_{i}.}$

Le caractère 1-lipschitzien d'un projecteur orthogonal permet d'en déduire l'inégalité de Bessel, qui comporte une généralisation à une famille orthonormale infinie.

Changement de base orthonormale

Si ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ est une base orthonormale et ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ une famille quelconque de E_n, alors

${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ est une base orthonormale si et seulement si la matrice de la famille ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ dans la base ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ est orthogonale.

Les endomorphismes qui transforment une base orthonormale en une base orthonormale sont donc les automorphismes orthogonaux.

Notes et références

1. Gérard Debeaumarché, Francis Dorra et Max Hochart (dir.), Mathématiques PSI-PSI* : Cours complet avec tests, exercices et problèmes corrigés, Pearson, coll. « Cap Prépa », 2010 (lire en ligne), p. 113-114.
2. Steeve Sarfati et Matthias Fegyvères, Mathématiques: méthodes, savoir-faire et astuces, Bréal, coll. « Optimal mathématiques », 1997 (lire en ligne), p. 129-130, pour une famille finie d'un espace préhilbertien réel.
3. Jean Dieudonné, « Groupes : Algèbre, analyse, géométrie », dans Dictionnaire des mathématiques, Algèbre, analyse, géométrie, Albin Michel & Encyclopædia Universalis, 2002, 924 p. (ISBN 2-226-09423-7), p. 534.

Articles connexes

• Base canonique
• Base de Hilbert
• Coordonnées cartésiennes