Fellmanin vanhemmat olivat rovasti Jakob Fellman ja Helena Augustina Tawaststjerna. Hän pääsi ylioppilaaksi Hämeenlinnan lukiosta 1865 ja opiskeli sitten Helsingin yliopistossa. Fellman suoritti kameraalitutkinnon 1869, tuomarintutkinnon 1872 ja sai varatuomarin arvon 1873.
Fellman toimi ylitullijohtokunnan asessorina 1885–1886 ja Suomen senaatin kamaritoimituskunnan esittelijäsihteerinä 1886–1897. Hän oli Oulun läänin kuvernöörinä 1897–1900 ja toimi senaattorina ja kamaritoimituskunnan päällikkönä 1900–1905. Fellman oli myös valtiopäivämiehenä.
Fellman sai valtioneuvoksen arvon 1894 ja hänet aateloitiin 1904. Hän valitsi aatelissukunsa tunnuslauseeksi Koti Kuusta Kuuleminen. Hänen jälkeläisensä muodostavat aatelissuvun numero 279.[1] G. E. Fellmannin veli, senaattori Nils Isak Fellman oli aateloitu hieman aiemmin.
Fellman oli naimisissa 1870–1913 Tuttu Charlotta Olivia Erika Stjernvallin (k. 1913) kanssa.
