فضای ضرب داخلی

با توجه به مفهوم ضرب داخلی و یک فضای برداری، فضای ضرب داخلی (به انگلیسی: Inner product space) عبارتست از یک فضای برداری (حقیقی یا مختلط) با ضرب داخلی‌ای مشخص بر روی آن.

ضرب‌های داخلی

مثالی از ضرب داخلی، همان ضرب نقطه‌ای یا اسکالری بردارها در ${\displaystyle R^{3}}$ است.ضرب اسکالری بردارهای ${\displaystyle \alpha =(x_{1},x_{2},x_{3})}$ و${\displaystyle \beta =(y_{1},y_{2},y_{3})}$ در ${\displaystyle R^{3}}$ عبارت است از:

${\displaystyle (\alpha |\beta )=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}}$

از نظر هندسی، این ضرب نقطه‌ای عبارت است از حاصل ضرب طول ${\displaystyle \alpha }$ در طول ${\displaystyle \beta }$ در کسینوس زاویه‌ی بین ${\displaystyle \alpha }$ و ${\displaystyle \beta }$ . بنابراین مفاهیم طول و زاویه را در ${\displaystyle R^{3}}$ می‌توان با ضرب اسکالری که به طور جبری تعریف می‌شود نیز تعریف کرد. حال تعریف ضرب داخلی را بسط می‌دهیم.

تعریف

فرض کنیم F هیئت اعداد حقیقی یا هیئت اعداد مختلط و V فضایی برداری برروی F باشد.یک ضرب داخلی روی V تابعی است که به هر جفت مرتب از بردارهای ${\displaystyle \alpha }$ و${\displaystyle \beta }$ اسکالری چون ${\displaystyle (\alpha |\beta )}$ در F را طوری اختصاص می‌دهد که به ازای همه‌ی ${\displaystyle \alpha }$ ها، ${\displaystyle \beta }$ ها و ${\displaystyle \gamma }$های در V و همه‌ی اسکالرهای c داشته باشیم:

1.${\displaystyle (\alpha +\beta |\gamma )=(\alpha |\gamma )+(\beta |\gamma )}$

2.${\displaystyle (c\alpha |\beta )=c(\alpha |\beta )}$

3.${\displaystyle (\beta |\alpha )=(\alpha |\beta )}$

4.${\displaystyle (\alpha |\alpha )\geq 0}$

البته اگر در فضای مختلط باشد ویژگی سوم با ویژگی زیر عوض می‌شود.

3.${\displaystyle (\beta |\alpha )={\overline {(\alpha |\beta )}}}$

ویژگی اول و دوم به خطی بودن رابطه مربوطند.

خاصیت های ضرب داخلی

مفاهیمی نظیر طول و تعامد به‌وسیله ضرب داخلی روی فضا تحمیل می‌شوند.

به یک فضای ضرب داخلی مختلط فضای یکانی و به یک فضای ضرب داخلی حقیقی با بعد متناهی یک فضای اقلیدسی می‌گویند.

طبق یک قضیه اگر ${\displaystyle V}$ یک فضای ضرب داخلی باشد آنگاه به ازای هر دو بردار ${\displaystyle \alpha }$ و ${\displaystyle \beta }$ در ${\displaystyle V}$ و هر اسکالر ${\displaystyle c}$:

• ${\displaystyle \rVert c\alpha \rVert =\mid c\mid \rVert \alpha \rVert }$
• به ازای ${\displaystyle \alpha \neq 0}$، ${\displaystyle \rVert \alpha \rVert \geq 0}$
• ${\displaystyle \mid (\alpha \mid \beta )\mid \leq \rVert \alpha \rVert \rVert \beta \rVert }$ (نابرابری کوشی-شوارتز)
• ${\displaystyle \rVert \alpha +\beta \rVert \leq \rVert \alpha \rVert +\rVert \beta \rVert }$

جستارهای وابسته

• فضای برداری

منابع

• کنت هافمن (۱۳۸۵)، جبر خطی، ترجمهٔ جمشید فرشیدی، مرکز نشر دانشگاهی، ص. ۳۶۰، شابک ۹۶۴-۰۱-۰۲۳۰-X