ماتریس ترانهاده در جبر خطی ترانهاده (به انگلیسی : Transpose ماتریس مانند A ماتریس دیگری است که با نماد A T (به شکل‌های دیگر A ′، A tr یا t A نوشته می‌شود) مشخص شده و نسبت به ماتریس A دارای تفاوت با تعریف زیر است:
[
A
]
i
× × -->
j
=
[
A
T
]
j
× × -->
i
{\displaystyle [A]_{i\times j}=[A^{T}]_{j\times i}}
به عبارت دیگر باید هنگام نوشتن ترانهاده هر ماتریسی سطرهای ماتریس را به شکل ستون نوشت و ستون‌های ماتریس را به شکل سطر؛
در واقع یک ماتریس n×m اگر ترانهاده شود یک ماتریس m×n خواهد بود. ترانهاده یک عدد همان عدد است.
[
1
2
]
T
=
[
1
2
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}.}
[
1
2
3
4
]
T
=
[
1
3
2
4
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}.}
[
1
2
3
4
5
6
]
T
=
[
1
3
5
2
4
6
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}.\;}
برای دو ماتریس دلخواه A و B و عدد C خواص زیر صدق می‌کند
(
A
T
)
T
=
A
{\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} \quad \,}
(
A
+
B
)
T
=
A
T
+
B
T
{\displaystyle (\mathbf {A} +\mathbf {B} )^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }+\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\,}
(
A
B
)
T
=
B
T
A
T
{\displaystyle \left(\mathbf {AB} \right)^{\mathrm {T} }=\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\,}
ماتریس مربعی A وارون‌پذیر است اگر و فقط اگر A T وارون‌پذیر باشد
(
c
A
)
T
=
c
A
T
{\displaystyle (c\mathbf {A} )^{\mathrm {T} }=c\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\,}
det
(
A
T
)
=
det
(
A
)
{\displaystyle \det(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })=\det(\mathbf {A} )\,}
ضرب داخلی دو ماتریس a و b می‌توان به شکل زیر محاسبه شود.
a
⋅ ⋅ -->
b
=
a
T
b
,
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} ,}
که در نمادگذاری اینشتین a i b i
(
A
T
)
− − -->
1
=
(
A
− − -->
1
)
T
{\displaystyle (\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{\mathrm {T} }\,}
اگر A یک ماتریس مربعی باشد مقدار ویژه این ماتریس برابر مقدار ویژه ماتریس ترانهاده آن است.
ماتریس مربعی در صورتی ماتریس متقارن نامید می‌شود که ترانهاده‌اش با خودش برابر باشد
A
T
=
A
.
{\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} .\,}
ماتریس G در صورتی ماتریس متعامد است که:
G
G
T
=
G
T
G
=
I
n
,
{\displaystyle \mathbf {GG} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {G} ^{\mathrm {T} }\mathbf {G} =\mathbf {I} _{n},\,}
ماتریس همانی است. G T = G -۱ .ماتریسی که ترانهاده‌اش با قرینه‌اش برابر باشد ماتریس پادمتقارن نامیده می‌شود
A
T
=
− − -->
A
.
{\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=-\mathbf {A} .\,}
همیوغ ترانهاده ماتریس A ، به شکل A * ، نوشته می‌شود برابر است با ترانهاده آن ماتریس و ماتریس همیوغ آن.
A
∗ ∗ -->
=
(
A
¯ ¯ -->
)
T
=
(
A
T
)
¯ ¯ -->
.
{\displaystyle \mathbf {A} ^{*}=({\overline {\mathbf {A} }})^{\mathrm {T} }={\overline {(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })}}.}
![{\displaystyle [A]_{i\times j}=[A^{T}]_{j\times i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c46bda4032238be3e453364b2a27bcde2f5e1bf)
