گروه متقارن

با گروه تقارنی اشتباه نشود.

گراف کیلی از گروه تقارنی ${\displaystyle S_{4}}$

جدول کیلی از گروه تقارنی ${\displaystyle S_{3}}$ (جدول ضرب ماتریس های جایگشتی)

این تصاویر موقعیت شش ماتریس است:

برخی از ماتریس ها تقارن حول قطر اصلی ندارند، لذا گروه تقارنیشان آبلی نخواهد بود.

در جبر مجرد، گروه متقارن (به انگلیسی: Symmetric Group)، روی هر مجموعه، گروهی است که عناصرش تماماً توابعی دو سویه از آن مجموعه به خودش بوده و عمل دوتایی آن همان ترکیب توابع می باشد. بخصوص گروه تقارنی ${\displaystyle \mathbf {S_{n}} }$ روی مجموعه متناهی با ${\displaystyle n}$ نماد تعریف می شود، در این مورد خاص عمل دوتایی گروه همان عمل جایگشت ${\displaystyle n}$ عنصر می باشد.^[۱] از آنجا که ${\displaystyle n!}$ (${\displaystyle n}$ فاکتوریل) عمل جایگشتی ممکن وجود دارد که می توان روی ${\displaystyle n}$تایی ها اعمال کرد، نتیجه می شود که تعداد عناصر (مرتبه) گروه ${\displaystyle S_{n}}$ برابر ${\displaystyle n!}$ خواهد بود.

گرچه که می توان گروه‌های تقارنی را بر روی مجموعه‌های نامتناهی عضوی هم تعریف کرد، این مقاله بر روی گروه‌های تقارنی با تعداد اعضای متناهی تمرکز خواهد کرد: کاربردهایشان، عناصرشان، دسته‌جات تزویجی، یک نمایش متناهی، زیرگروه‌هایش، گروه‌های خودریختی و نظریهٔ نمایش آن. برای بقیهٔ مقاله، «گروه متقارن» به معنای گروه متقارن بر روی مجموعه‌ای متناهی است.

گروه متقارن برای حوزه‌های وسیعی از ریاضیات مهم است، مثل نظریهٔ گالوا، نظریهٔ ناوردا و ترکیبیات. قضیهٔ کیلی بیان می‌کند که هر گروه ${\displaystyle G}$ با زیرگروهی از یک گروه متقارن روی ${\displaystyle G}$ یک‌ریخت می باشد.

یادداشت‌ها

1. Jacobson (2009), p. 31.

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Symmetric Group». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۵ آگوست ۲۰۱۹.

منابع

• Cameron, Peter J. (1999), Permutation Groups, London Mathematical Society Student Texts, vol. 45, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-65378-7
• Dixon, John D.; Mortimer, Brian (1996), Permutation groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 163, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94599-6, MR 1409812
• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, vol. 1 (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1.
• Kaloujnine, Léo (1948), "La structure des p-groupes de Sylow des groupes symétriques finis", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 3, 65: 239–276, ISSN 0012-9593, MR 0028834
• Kerber, Adalbert (1971), Representations of permutation groups. I, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 240, vol. 240, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0067943, ISBN 978-3-540-05693-5, MR 0325752
• Liebeck, M.W.; Praeger, C.E.; Saxl, J. (1988), "On the O'Nan-Scott theorem for finite primitive permutation groups", Journal of the Australian Mathematical Society, 44 (3): 389–396, doi:10.1017/S144678870003216X
• Nakaoka, Minoru (March 1961), "Homology of the Infinite Symmetric Group", Annals of Mathematics, 2, Annals of Mathematics, 73 (2): 229–257, doi:10.2307/1970333, JSTOR 1970333
• Netto, Eugen (1882), Substitutionentheorie und ihre Anwendungen auf die Algebra (به آلمانی), Leipzig. Teubner, JFM 14.0090.01
• Scott, W.R. (1987), Group Theory, New York: Dover Publications, pp. 45–46, ISBN 978-0-486-65377-8
• Schur, Issai (1911), "Über die Darstellung der symmetrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrochene lineare Substitutionen", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 139: 155–250, doi:10.1515/crll.1911.139.155
• Schreier, Józef; Ulam, Stanislaw (1936), "Über die Automorphismen der Permutationsgruppe der natürlichen Zahlenfolge" (PDF), Fundamenta Mathematicae (به آلمانی), 28: 258–260, Zbl 0016.20301