زیرگروه نرمال

در جبر مجرد، یک زیرگروه نرمال (به انگلیسی: Normal Subgroup) (که به آن زیرگروه ناوردا یا زیرگروه خود-الحاقی نیز می‌گویند)^[۱] زیرگروهی است که تحت مزدوج‌گیری توسط اعضای گروهی که داخل آن قرار دارد ناورداست. به بیان دیگر، یک زیرگروه ${\displaystyle N}$ از گروهی چون ${\displaystyle G}$ در ${\displaystyle G}$ نرمال است اگر و تنها اگر برای تمام ${\displaystyle g\in G}$ و ${\displaystyle n\in N}$ نتیجه شود ${\displaystyle gng^{-}1\in N}$. نمادگذاری رایج برای زیرگروه نرمال ${\displaystyle N\triangleleft G}$ است.

زیرگروه‌های نرمال مهم‌اند، چرا که آن‌ها(و فقط آن‌ها) را می‌توان برای ساخت گروه‌های خارج قسمتیِ گروهِ داده شده مورد استفاده قرار داد. به علاوه، زیرگروه‌‎های نرمال ${\displaystyle G}$ دقیقاً هسته‌های همریختی‌های گروهی با دامنه ${\displaystyle G}$ اند؛ لذا می‌توان از این زیرگروه‌ها به طور ذاتی برای طبقه‌بندی چنین همریختی‌هایی بهره جست.

اواریسته گالوا اولین کسی بود که متوجه اهمیت وجود زیرگروه‌های نرمال شد.^[۲]

تعاریف

یک زیرگروه ${\displaystyle N}$ از ${\displaystyle G}$ را زیرگروه نرمال از ${\displaystyle G}$ گویند، اگر تحت مزدوج‌گیری ناوردا باشد؛ یعنی مزدوج عنصر دلخواهی از ${\displaystyle N}$ تحت عنصر دلخواهی از ${\displaystyle G}$ همیشه در ${\displaystyle N}$ قرار بگیرد.^[۳] نمادگذاری این رابطه ${\displaystyle N\triangleleft G}$ است.

شرایط معادل

برای هر زیرگروه ${\displaystyle N}$ از ${\displaystyle G}$، شرایط زیر معادل‌اند با این که ${\displaystyle N}$ زیر گروه نرمالی از ${\displaystyle G}$ باشد. بنابراین هر کدام از آن‌ها را می‌توان به عنوان تعریف زیرگروه نرمال به کار برد:

• تصویر تزویجی (تصویر تحت مزدوج گیری) ${\displaystyle N}$ تحت هر عنصر ${\displaystyle G}$ زیرمجموعه‌ای از ${\displaystyle N}$ باشد.^[۴]
• تصویر تزویجی ${\displaystyle N}$ تحت هر عنصر ${\displaystyle G}$ برابر ${\displaystyle N}$ باشد.^[۴]
• برای تمام ${\displaystyle g\in G}$، همدسته‌های چپ و راست ${\displaystyle gN}$ و ${\displaystyle Ng}$ برابر باشند.^[۴]
• همدسته‌های چپ و راست ${\displaystyle N}$ در ${\displaystyle G}$ با هم یکی شوند.^[۴]
• ضرب یک عنصر از همدسته چپ ${\displaystyle N}$ نسبت به ${\displaystyle g}$ و یک عنصر از همدسته چپ ${\displaystyle N}$ نسبت به ${\displaystyle h}$، عنصری از همدسته چپ ${\displaystyle N}$ نسبت به ${\displaystyle gh}$ باشد: یعنی اگر ${\displaystyle \forall x,y,g,h\in G}$ از ${\displaystyle x\in gN}$ و ${\displaystyle y\in hN}$ نتیجه شود که ${\displaystyle xy\in (gh)N}$.
• ${\displaystyle N}$ برابر اجتماع رده‌های تزویجی ${\displaystyle G}$ باشد.^[۲]
• ${\displaystyle N}$ تحت درون‌ریختی‌های داخلی از ${\displaystyle G}$ حفظ شود.^[۵]
• همریختی گروهی چون ${\displaystyle G\rightarrow H}$ وجود دارد چنان که هسته آن ${\displaystyle N}$ باشد.^[۲]
• برای تمام ${\displaystyle n\in N}$ و ${\displaystyle g\in G}$، جابجاگر ${\displaystyle [n,g]=n^{-1}g^{-1}ng}$ در ${\displaystyle N}$ باشد.
• هر دو عنصر گروه ${\displaystyle G}$ در رابطه زیر صدق کنند:

${\displaystyle \forall g,h\in G,gh\in N\iff hg\in N}$

پانویس

1. Bradley 2010, p. 12.
2. Cantrell 2000, p. 160.
3. Dummit & Foote 2004.
4. Hungerford 2003, p. 41.
5. Fraleigh 2003, p. 141.

منابع

• Bergvall, Olof; Hynning, Elin; Hedberg, Mikael; Mickelin, Joel; Masawe, Patrick (16 May 2010). "On Rubik's Cube" (PDF). KTH.
• Cantrell, C.D. (2000). Modern Mathematical Methods for Physicists and Engineers. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59180-5.
• Dõmõsi, Pál; Nehaniv, Chrystopher L. (2004). Algebraic Theory of Automata Networks. SIAM Monographs on Discrete Mathematics and Applications. SIAM.
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.
• Fraleigh, John B. (2003). A First Course in Abstract Algebra (7th ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-15608-2.
• Hall, Marshall (1999). The Theory of Groups. Providence: Chelsea Publishing. ISBN 978-0-8218-1967-8.
• Hungerford, Thomas (2003). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer.
• Judson, Thomas W. (2020). Abstract Algebra: Theory and Applications.
• Robinson, Derek J. S. (1996). A Course in the Theory of Groups. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 80 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-1-4612-6443-9. Zbl 0836.20001.
• Thurston, William (1997). Levy, Silvio (ed.). Three-dimensional geometry and topology, Vol. 1. Princeton Mathematical Series. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08304-9.
• Bradley, C. J. (2010). The mathematical theory of symmetry in solids : representation theory for point groups and space groups. Oxford New York: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-958258-7. OCLC 859155300.

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Norma Subgroup». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.

پیوند به بیرون

• Weisstein, Eric W. "normal subgroup". MathWorld.
• Normal subgroup in Springer's Encyclopedia of Mathematics
• Robert Ash: Group Fundamentals in Abstract Algebra. The Basic Graduate Year
• Timothy Gowers, Normal subgroups and quotient groups
• John Baez, What's a Normal Subgroup?