Kogu elukutselise klubikarjääri jooksul on Wright mänginud Inglismaal. 2009. aastal liitus ta Preston North Endiga. Klubi põhimeeskonnas debüteeris ta 2011. aasta märtsis. Preston North Endi põhikoosseisu kuulus ta alates hooajast 2012/13. 2015. aastal kindlus ta klubiga pärast nelja hooaega League One'is pääsu tagasi Inglismaa esiliigasse.
2017. aasta jaanuaris sõlmis ta lepingu Inglismaa esiliigaklubiga Bristol City. 2020. aasta jaanuaris läks ta laenule Sunderlandi, kellega sõlmis sama aasta augustis püsiva lepingu.