Reflexión (matemática)

Reflexión respecto a un eje

En matemáticas, una reflexión[1]​ es una aplicación desde un espacio euclídeo sobre sí mismo, que es una isometría con un hiperplano como un conjunto de puntos fijos; este conjunto es llamado eje (en 2 dimensiones) o plano (en 3 dimensiones) de reflexión. La imagen de una figura por una reflexión es su imagen especular, en el eje o plano de reflexión. Por ejemplo, la imagen especular de la letra minúscula p por una reflexión con respecto a un eje vertical se vería como la letra q. Su imagen por una reflexión en un eje horizontal se vería como la letra b. Una reflexión es una involución: cuando se aplica dos veces sucesivas, cada punto regresa a su localización original, y un objeto geométrico es restaurado a su estado original.

El vocablo «reflexión» es usado en ocasiones para una clase mayor de aplicaciones de un espacio euclídeo sobre sí mismo, principalmente las isometrías distintas de la identidad que son involuciones. Dichas isometrías tienen un conjunto de puntos fijos (el «espejo») que es un subespacio afín, pero es posiblemente más pequeño que un hiperplano. Por ejemplo, la reflexión a través de un punto es una isometría involutiva con sólo un punto fijo; la imagen de la letra p bajo ella se vería como una d. Esta operación también es conocida como una inversión central (Coxeter, 1969, §7.2), y exhibe al espacio euclídeo como un espacio simétrico. En un espacio vectorial euclídeo, la reflexión sobre el punto situado en el origen es lo mismo que el cambio de signo de las componentes de un vector. Otros ejemplos incluyen reflexiones con respecto a una línea recta en el espacio tridimensional. Por lo general, el uso sin calificativos del término «reflexión» quiere decir reflexión con respecto a un hiperplano.

Si una figura no cambia al aplicársele una reflexión, se dice que tiene simetría especular.

En la literatura (particularmente en inglés), se usa también el término flip para referirse a una reflexión.[2][3][4]

Construcción

El punto Q es la reflexión del punto P a través de la línea AB.

En una geometría planar (o, respectivamente, 3-dimensional), para encontrar la reflexión de un punto se tiende una línea perpendicular del punto a la línea (plano) usado para la reflexión y se extiende la misma distancia del otro lado de ésta. Para encontrar la reflexión de una figura, se reflejan todos los puntos de la misma.

Para reflejar el punto P a través de la línea AB usando una regla y compás, se procede de la siguiente forma (véase la figura):

  1. (En rojo) Se construye un círculo con centro en P y un radio fijo r para crear los puntos A' y B' sobre la línea AB, que serán equidistantes a P.
  2. (En verde) Se construyen círculos con centro en A' y B' con radio r. P y Q serán los puntos de intersección de estos dos círculos.

El punto Q es entonces la reflexión del punto P a través de la línea AB

Propiedades

Una reflexión a través de un eje seguida de una reflexión en un segundo eje no paralelo al primero resulta en un movimiento total que es equivalente a un movimiento de rotación alrededor del punto de intersección de los ejes.

La matriz de una reflexión es ortogonal con determinante de -1 y valores propios de -1, 1, 1, ..., 1. El producto de dichas matrices es una matriz especial ortogonal que representa una rotación. Cada rotación es el resultado de reflejar un número par de reflexiones en hiperplanos a través del origen, y cada rotación impropia es el resultado de reflejar un número impar de veces. De esta forma, las reflexiones general al grupo ortogonal, y este resultado es conocido como el teorema de Cartan-Dieudonné.

De forma similar, el grupo euclídeo, que consiste en todas las isometrías del espacio euclídeo, es generado por reflexiones en hiperplanos afines. En general, un grupo generado por reflexiones en hiperplanos afines es conocido como un grupo de reflexión. Los grupos finitos generados de esta forma son ejemplos de grupos de Coxeter.[cita requerida]

Reflexión respecto a un punto

Punto reflejado: se toma su vector desde el centro de reflexión, y se gira 180º
Reflexión respecto a un punto como la combinación de reflexiones respecto a dos ejes

La reflexión a través de un punto es la imagen formada tomando este punto como centro. Sea un punto Z el centro de una reflexión. Entonces, se asigna a cada punto P del plano o espacio de dibujo un punto imagen P', que se determina aplicando el vector PZ desde el punto Z.

Una reflexión puntual con respecto al origen de coordenadas se denomina reflexión espacial.

La aplicación posee un único punto fijo (un punto que la transformación deja sin cambios), el centro Z. Las líneas fijas (las líneas que se transfieren sobre sí mismas) son exactamente las líneas que pasan por Z. Cualquier línea recta g se asigna a una línea recta paralela g'.

En el plano, la reflexión con respecto a un punto Z es equivalente a una rotación de 180° alrededor del centro de rotación Z.

Las reflexiones puntuales son consistentes con líneas rectas, longitudes y ángulos, es decir producen imágenes congruentes.

Cada reflexión respecto a un punto en un plano se puede sustituir por la composición de dos reflexiones respecto a dos ejes que pasan por el centro Z y son perpendiculares entre sí. El orden de estas reflexiones es, por tanto, arbitrario.

Cada reflexión respecto a un punto en el espacio puede sustituirse por reflexiones respecto a tres planos aplicadas sucesivamente. Los tres planos especulares pasan por el centro Z y son perpendiculares entre sí. El orden de estas reflexiones es, por tanto, arbitrario.

Reflexión a través de una línea recta en el plano

La reflexión a través de una línea recta que pasa por el origen en dos dimensiones puede ser descrita con la siguiente fórmula:

donde v denota al vector que será reflejado, l denota cualquier vector en la línea en la que será reflejada, y v·l denota el producto escalar de v con l. Nótese que la fórmula también puede ser escrita de la forma

donde la reflexión de la línea l sobre v es igual a dos veces la proyección de v en la línea l menos v. Las reflexiones en una línea tienen los valores propios 1 y -1.

Reflexión a través de un hiperplano en n dimensiones

Dado un vector a en un espacio euclídeo Rn, la fórmula para la reflexión respecto a un hiperplano que pasa a través del origen, ortogonal a a, está dado por

donde va denota al producto escalar de v con a. Nótese que el segundo término en la ecuación superior es justamente el doble de la proyección de v sobre a. Es posible verificar que

  • Refa(v) = −v, si v es paralelo a a, y
  • Refa(v) = v, si v es perpendicular a a.

Usando el producto geométrico, la fórmula es

Ya que estas reflexiones son isometrías del espacio euclídeo en el que el origen se queda fijo, pueden ser representadas por matrices ortogonales. La matriz ortogonal correspondiente a la reflexión arriba escrita es la matriz cuyas entradas son

donde δij es la delta de Kronecker.

La fórmula para la reflexión en el hiperplano afín no a través del origen, es

Véase también

Notas

  1. Real Academia Española. «reflexión». Diccionario de la lengua española (23.ª edición). : Tercera acepción: 3. f. Fís. Acción y efecto de reflejar o reflejarse.
  2. Childs, Lindsay N. (2009), A Concrete Introduction to Higher Algebra (3rd edición), Springer Science & Business Media, p. 251, consultado el {{subst:AF}} .
  3. Gallian, Joseph (2012), Contemporary Abstract Algebra (8a edición), Cengage Learning, p. 32, consultado el {{subst:AF}} .
  4. Isaacs, I. Martin (1994), Algebra: A Graduate Course, American Mathematical Society, p. 6, consultado el {{subst:AF}} .

Referencias

Enlaces externos

Read other articles:

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada November 2022. Budi PrasetyonoInformasi pribadiLahir11 Desember 1963 (umur 59)Malang, Jawa TimurAlma materAkademi Angkatan Udara (1988)Karier militerPihak IndonesiaDinas/cabang TNI Angkatan UdaraMasa dinas1988—2021Pangkat Marsekal Muda TNISatuanKorp...

 

Este artigo não cita fontes confiáveis. Ajude a inserir referências. Conteúdo não verificável pode ser removido.—Encontre fontes: ABW  • CAPES  • Google (N • L • A) (Dezembro de 2016) Yōichi Takahashi Yoichi Takahashi (高橋陽一, Takahashi Yōichi?, nascido em 28 de julho de 1960) é um mangaká. O seu maior trabalho foi Captain Tsubasa, série de mangá e anime que foi exportado para vários lugares do mundo, e recebeu...

 

American independent record label Red House RecordsFounded1983 (1983)FounderBob FeldmanGenreFolk, AmericanaCountry of originU.S.LocationSt. Paul, MinnesotaOfficial websitewww.redhouserecords.com Red House Records is an independent folk and Americana record label in St. Paul, Minnesota. The label was founded in 1983 by Bob Feldman after seeing a performance by Iowa folk singer Greg Brown. Origin The label is named for a farmhouse in Iowa where Brown was living when he started it. After Br...

Honorable Congress of the State of PueblaLX LegislatureTypeTypeUnicameral HistoryFoundedJanuary 1, 1826 (1826-01-01)StructureSeats41Political groupsGovernment   MORENA (17)   PT (5)   PVEM (1) Opposition   PAN (9)   PRI (7)   MC (1)   PSI (1)ElectionsVoting systemFirst-past-the-post for 26 seats and Mixed-member proportional representation for 15 seatsLast election6 June 2021Meeting placeBuilding of the Congr...

 

У статті подано список Прем'єр-міністрів Гамбії. Список № Ім'я Роки життя Час на посаді Головний міністр 1 П'єр Сарр Н'Джі 17 липня 1909 — 11 грудня 1993 1961–1962 Прем'єр-міністр 2 Дауда Кайраба Джавара нар. 16 травня 1924 1962–1970 З 24 квітня 1970 пост ліквідовано. Джерела [1] [Архівовано 6 к...

 

DeninoLahirDenino Fridenshah Basrial16 November 1981 (umur 42)Padang, Sumatera Barat, IndonesiaKebangsaanIndonesiaPekerjaan Aktor Presenter Tahun aktif2010—sekarang Denino Fridenshah Basrial (lahir 16 November 1981) adalah seorang aktor dan presenter berkebangsaan Indonesia. Ia dikenal luas berkat perannya dalam beberapa judul serial FTV Pintu Berkah.[1][2][3][4] Filmografi Film Tahun Judul Peran Catatan 2011 Di Bawah Lindungan Ka'bah Rekan Hamid 20...

Tổ chức của Quân đội nhân dân Việt Nam được quy định theo Luật Quốc phòng năm 2018[1] theo đó Quân đội nhân dân Việt Nam là một bộ phận và là lực lượng nòng cốt của Lực lượng Vũ trang Nhân dân bao gồm Lực lượng thường trực (Bộ đội Chủ lực và Bộ đội Địa phương) và Lực lượng Dự bị động viên. Tổ chức Đảng Cộng sản Việt Nam trong Quân đội Theo điều lệ Đảng C

 

Капитализм Концепции Бизнес Предпринимательство и Предприниматель Финансы Закон спроса и предложения Инвестиции и Инвестор Либерализация экономики Маржинализм Наёмный работник Невидимая рука рынка Прибыль Чистая прибыль Экономическая прибыль Продукция Приватизац...

 

Лувмон-Кот-дю-ПуаврLouvemont-Côte-du-Poivre   Країна  Франція Регіон Гранд-Ест  Департамент Мез  Округ Верден Кантон Шарні-сюр-Мез Код INSEE 55307 Поштові індекси 55100 Координати 49°14′18″ пн. ш. 5°23′56″ сх. д.H G O Висота 214 - 375 м.н.р.м. Площа 8,25 км² Населення 0 (01-2020[1]) Густ...

U12 minor spliceosomal RNAPredicted secondary structure and sequence conservation of U12IdentifiersSymbolU12RfamRF00007Other dataRNA typeGene; snRNA; splicingDomain(s)EukaryotaGOGO:0000371 GO:0045131 GO:0005693SOSO:0000399PDB structuresPDBe U12 minor spliceosomal RNA is formed from U12 small nuclear (snRNA), together with U4atac/U6atac, U5, and U11 snRNAs and associated proteins, forms a spliceosome that cleaves a divergent class of low-abundance pre-mRNA introns. Although the U12 sequence is...

 

此條目已列出參考文獻,但因為沒有文內引註而使來源仍然不明。 (2012年1月29日)请加上合适的文內引註来改善这篇条目。 蝴蝶小姐~最後的武士之女蝶々さん~最後の武士の娘~类型時代劇原作市川森一编剧市川森一导演清水一彦主演宮崎葵制作国家/地区 日本语言日語集数2每集长度約73分鐘制作制作人佐野元彦、谷口卓敬拍攝地點 日本播出信息 首播频道NHK綜合...

 

1967 filmThe Crazy Kids of the WarDirected byStenoWritten byCastellano & PipoloStarringRita Pavone Terence Hill Aroldo TieriJess HahnCinematographyRiccardo PallottiniMusic byBerto PisanoRelease date 22 December 1967 (1967-12-22) LanguageItalian The Crazy Kids of the War (Italian: La Feldmarescialla, French: La grosse pagaille) is a 1967 Italian-French musicarello film directed by Steno.[1][2][3] Cast Rita Pavone: Rita Terence Hill: Professor Giuliano...

Emblem of LakshadweepArmigerThe Administration of LakshadweepCrestPalm treeBlazonAshoka ChakraSupportersButterflyfishCompartmentFlag of India(without the Ashoka Chakra in center)MottoLakshadweep The Emblem of Lakshadweep is the symbol used to represent the administration of the union territory of Lakshadweep, India.[1] Design The emblem depicts an Ashoka Chakra behind which there is a palm tree which is flanked by two butterflyfish and below is a compartment of ribbons in the colours ...

 

Risorgimento beralih ke halaman ini. Untuk opera tahun 2011 oleh Lorenzo Ferrero, lihat Risorgimento! (opera). Untuk surat kabar yang didirikan oleh Camillo Cavour, lihat Il Risorgimento (surat kabar). Penyatuan ItaliaRisorgimentoLima Hari Milan, 18–22 Maret 1848Tanggal1815–1871LokasiItaliaPartisipanMasyarakat Italia, Kerajaan Sardinia, Pemerintah Sementara Milan, Republik San Marco, Kerajaan Sisilia, Republik Romawi, Carbonari, Kekaisaran Prancis, Pakaian Merah, Legiun Hungaria, Tentara ...

 

Bungku peopleTo Bungku / To BungguBungku ironsmiths working. Collection of Tropenmuseum, photo taken between 1900 and 1920.Regions with significant populations Indonesia (Central Sulawesi)LanguagesBungku language, Indonesian languageReligionIslam and Christianity Bungku people (Bungku: To Bungku or To Bunggu) are an ethnic group who mostly resides in North Bungku, South Bungku, Central Bungku, and Menui Islands districts di Morowali Regency, in Central Sulawesi province of Indonesia.[...

French painter (1877-1953) You can help expand this article with text translated from the corresponding article in French. (July 2020) Click [show] for important translation instructions. Machine translation, like DeepL or Google Translate, is a useful starting point for translations, but translators must revise errors as necessary and confirm that the translation is accurate, rather than simply copy-pasting machine-translated text into the English Wikipedia. Consider adding a topic to t...

 

South Korean boy band NCT DreamNCT Dream at the 2023 Melon Music Awards From left to right: Mark, Renjun, Jeno, Jaemin, Jisung, Chenle, and HaechanBackground informationOriginSeoul, South KoreaGenres K-pop hip hop R&B teen pop Years active2016–presentLabels SM Avex Trax[1][2] Spinoff ofNCTMembers Mark Renjun Jeno Haechan Jaemin Chenle Jisung WebsiteOfficial website NCT Dream (Korean: 엔시티 드림; RR: Ensiti Deurim) is the third sub-unit of the ...

 

Адольф Вильям Бугро «Предложение» (1872) Обруче́ние (сговор, помолвка, рукобитие) — предварительный договор о заключении брака (лат. mentio et repromissio nuptiarum futurarum — определение римского юриста Флорентина), имевший раньше и сохранивший отчасти до сих пор не только бытовое,...

Minor Arcana Ten of Wands from the Rider–Waite tarot deck Ten of Wands is a Minor Arcana Tarot card of the Suit of Wands. Tarot cards are used throughout much of Europe to play tarot card games.[1] In English-speaking countries, where the games are largely unknown, Tarot cards came to be utilized primarily for divinatory purposes.[1][2] Divination usage Most often, the Ten of Wands card carries the meaning of overload and burdening situations where too much responsib...

 

The topic of this article may not meet Wikipedia's notability guideline for music. Please help to demonstrate the notability of the topic by citing reliable secondary sources that are independent of the topic and provide significant coverage of it beyond a mere trivial mention. If notability cannot be shown, the article is likely to be merged, redirected, or deleted.Find sources: Almendra Aldemaro Romero album – news · newspapers · books · scholar ...

 

Strategi Solo vs Squad di Free Fire: Cara Menang Mudah!