Siendo joven, su padre Nikolaus Bernoulli lo envió a la Universidad de Basilea para estudiar filosofía y teología, con el ánimo de que se convirtiera en teólogo. Pero Jakob continuó, a escondidas, las que eran sus auténticas aficiones: la física y las matemáticas.
A partir de los planteamientos de Leibniz desarrolló problemas de cálculo infinitesimal. Fundó en Basilea un colegio experimental.
Estudió por sí mismo la forma del cálculo ideada por Leibniz. Desde 1687 hasta su muerte fue profesor de Matemáticas en Basilea. Jacob I fue uno de los primeros en desarrollar el cálculo más allá del estado en que lo dejaron Newton y Leibniz y en aplicarlo a nuevos problemas difíciles e importantes. Sus contribuciones a la geometría analítica, a la teoría de probabilidades y al cálculo de variaciones fueron de extraordinaria importancia. Tenemos ya una muestra del tipo del problema tratado por el cálculo de variaciones en el teorema de Fermat sobre el tiempo mínimo. La matemática del problema se reduce a hacer que una cierta integral tome un valor máximo sometido a una condición restrictiva. Jacob I resolvió este problema y lo generalizó. El hecho de que la cicloide es la curva de más rápido descenso fue descubierto por los hermanos Jacob I y Johannes I en 1697, y casi simultáneamente por varios autores
Durante un viaje a Inglaterra en 1676, Jakob Bernoulli conoció a Robert Boyle y Robert Hooke. Este contacto le inspiró una dedicación vitalicia a la ciencia y la matemática. Fue nombrado Lector en la Universidad de Basilea en 1682 y fue nombrado Profesor de Matemáticas en 1687.
Se familiarizó con el cálculo mediante su correspondencia con Gottfried Leibniz, y colaboró con su hermano Johann en varias aplicaciones, siendo notable la publicación de artículos en curvas trascendentales (1696) e isoperimetría (1700, 1701).
La espiral construida utilizando rectángulos con la proporción áurea resulta una aproximación a la espiral logarítmica, que Bernouilli deseó para su tumba, en lugar de la espiral de Arquímedes que finalmente fue erróneamente tallada.
Bernoulli escogió la figura de la espiral logarítmica (propuesta antes por su aprendiz Andres Beat E.S), así como el emblema en latín "Eadem mutata resurgo" (Mutante y permanente, vuelvo a resurgir siendo el mismo) para su epitafio. Contrariamente a su deseo de que fuese tallada una espiral logarítmica (constante en su radio), la espiral que tallaron los maestros canteros en su tumba fue una espiral de Arquímedes (constante en su diferencia). [1] La espiral logarítmica se distingue de la espiral de Arquímedes por el hecho de que las distancias entre su brazos se incrementan en progresión geométrica, mientras que en una espiral de Arquímedes estas distancias son constantes.[3]
El término espiral logarítmica se debe a Pierre Varignon. La espiral logarítmica fue estudiada por Descartes y Torricelli, pero la persona que le dedicó un libro fue Jakob Bernoulli, que la llamó Spira mirabilis, «la espiral maravillosa». Impresionado por sus propiedades, pidió que grabaran en su tumba, en Basilea, la espiral logarítmica con la máxima eadem mutata resurgo, pero, en su lugar, el tallista grabó (por desconocimiento o para ahorrarse trabajo) una espiral de Arquímedes. D'Arcy Thompson le dedicó un capítulo de su tratado On Growth and Form (1917).
Jakob Bernoulli escribió que la espiral logarítmica puede ser utilizada como un símbolo, bien de fortaleza y constancia en la adversidad, o bien como símbolo del cuerpo humano, el cual, después de todos los cambios y mutaciones, incluso después de la muerte será restaurado a su ser perfecto y exacto.
Descubrimiento de la constante matemática e
En 1683, Bernoulli descubrió la constante e al estudiar una cuestión sobre interés compuesto que le exigía hallar el valor de la siguiente expresión (que en realidad es e):[5][6]
Un ejemplo es una cuenta que comienza con $1.00 y paga el 100 porciento de interés anual. Si el interés es computado una vez, al final del año, el valor es $2.00; pero si el interés es calculado y agregado dos veces durante el año, el monto de $1 es multiplicado por 1.5 dos veces, resultando en un monto de $1.00×1.5² = $2.25. Si el interés se compone en trimestres se obtiene $1.00×1.254 = $2.4414..., y si se lo compone mensualmente el resultado es $1.00×(1.0833...)12 = $2.613035....
Bernoulli se dio cuenta de que la secuencia se aproxima a un límite (the force of interest) para intervalos de composición cada vez más pequeños. La composición semanal resulta en $2.692597..., mientras que si se compone diariamente se obtiene $2.714567..., apenas dos centavos más. Llamando n el número de intervalos de composición, con un interés de 100% / n en cada intervalo, el límite para un valor de n grande es el número de Euler posteriormente llamado e; con interés compuesto continuo, el valor resultante es $2.7182818.... En forma general, una cuenta que comienza con $1, y a la cual se le aplica un interés compuesto de (1+R) dólares, resultará en la suma de eR dólares con una composición de interés continua.
Citas
Epitafio de Jacob Bernoulli en el claustro de la Catedral de Basilea.
↑Jacob Bernoulli (1690) "Quæstiones nonnullæ de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685" (Algunas cuestiones sobre el interés, con la solución de un problema sobre los juegos de azar, propuestas en el Journal des Savants (Ephemerides Eruditorum Gallicanæ), en el año (anno) 1685.**), Acta eruditorum, pp. 219-23. En la p. 222, Bernoulli plantea la cuestión: "Alterius naturæ hoc Problema est: Quæritur, si creditor aliquis pecuniæ summam fænori exponat, ea lege, ut singulis momentis pars proportionalis usuræ annuæ sorti annumeretur; quantum ipsi finito anno debeatur?" (Este es un problema de otro tipo: La pregunta es, si algún prestamista invirtiera [una] suma de dinero [a] interés, la dejara acumularse, de modo que [en] cada momento [recibiera] una parte proporcional de [su] interés anual; ¿cuánto se le debería [al] final [del] año?"). Bernoulli desarrolla una serie de potencias para calcular la respuesta, y escribe: " … quæ nostra serie [mathematical expression for a geometric series] &c. major est. … si a=b, debebitur plu quam 2½a & minus quam 3a." ( … nuestra serie [una serie geométrica] es mayor [que]. … si a=b, [el prestamista] recibirá más del 2½a y menos que 3a.) Si a=b, la serie geométrica se reduce a la serie para a × e, por lo cual 2.5 < e < 3. (** La referencia es a un problema planteado por Jacob Bernoulli y que está publicado en el Journal des Sçavans de 1685 al pie de la fr/ark:/12148/bpt6k56536t/f307.image.langEN página 314.)
↑J J O'Connor; E F Robertson. «The number e». St Andrews University. Consultado el 2 de noviembre de 2016.
