Una progresión geométrica es una sucesión de números reales llamados términos, en la que cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante denominada «razón» o «factor» de la progresión. Si se denota por al término que ocupa la posición de la sucesión, se puede obtener el valor de cualquier término a partir del primero () y de la razón () mediante la siguiente fórmula llamada término general:
Ejemplos de progresiones geométricas
La progresión 5, 15, 45, 135, 405,...' es una progresión geométrica con razón
Las progresiones 1, 2, 4, 8, 16,... y 5, 10, 20, 40,... son geométricas con razón .
La progresión -3, 6, -12, 24, ... tiene razón . Esta progresión es también una sucesión alternada.
Se llama progresión geométrica una sucesión numérica () definida por las condiciones
llamada ecuación recursiva de orden 1[2] ( ), ( es la razón de la progresión geométrica)[3]
Monotonía
Una progresión geométrica es monótona creciente cuando cada término es mayor o igual que el anterior (), monótona decreciente cuando cada término es menor o igual que el anterior (), constante cuando todos los términos son iguales () y alternada cuando cada término tiene signo distinto que el anterior (ocurre cuando ).[4]
Monotonía en función del primer término, , y de la razón, :[5]
creciente
decreciente
decreciente
creciente
constante
alternada
Suma de términos de una progresión geométrica
Suma de los n primeros términos de una progresión geométrica
Se denota por a la suma de los primeros términos consecutivos de una progresión geométrica:
Se puede calcular esta suma a partir del primer término y de la razón mediante la fórmula
Sea
Se multiplican ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión .
puesto que
Si se procede a restar de esta igualdad la primera:
ya que todos los términos intermedios se cancelan mutuamente.
Despejando :
De esta manera se obtiene la suma de los términos de una progresión geométrica cuando se conoce el primer y el último término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede expresar el término general de la progresión como:
que expresa la suma de términos consecutivos de una progresión geométrica en función del primer término y de la razón de la progresión.
Serie geométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... converge a 2.
Se puede generalizar el procedimiento anterior para obtener la suma de los términos consecutivos comprendidos entre dos elementos arbitrarios y (ambos incluidos):
Suma de infinitos términos de una progresión geométrica
Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad , la suma de los infinitos términos decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si , tiende hacia 0, de modo que simplemente se los puede simplificar y la razón que da como único término :
Finalmente, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a la unidad es: