Geometría de números

Mejores aproximaciones racionales para π (círculos verdes), e (diamantes azules), ϕ (rectángulos rosa), (√3)/2 (hexágonos grises) , 1/√2 (octógonos rojos) y 1/√3 (triángulos naranja); calculados a partir de sus expansiones en fracciones continuas, representadas como pendientes y/x con errores respecto a sus valores verdaderos (guiones negros)

La geometría de números es la parte de la teoría de números que emplea la geometría para el estudio de los números algebraicos. Por lo general, un anillo de números algebraicos se ve como un retículo en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ y el estudio de estos retículos proporciona información fundamental sobre los números algebraicos.^[1]​ La geometría de los números fue iniciada por Hermann Minkowski (1910).

La geometría de los números tiene una estrecha relación con otros campos de las matemáticas, especialmente con el análisis funcional y la aproximación diofántica, el problema de encontrar números racionales que se aproximen a una cantidad irracional.^[2]​

Los resultados de Minkowski

Supóngase que ${\displaystyle \Gamma }$ es un retículo en el espacio euclídeo ${\displaystyle n}$ de dimensión ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ y ${\displaystyle K}$ es un cuerpo convexo centralmente simétrico. El teorema de Minkowski, a veces llamado el primer teorema de Minkowski, establece que si ${\displaystyle \operatorname {vol} (K)>2^{n}\operatorname {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )}$, entonces ${\displaystyle K}$ contiene un vector no nulo en ${\displaystyle \Gamma }$.

El ${\displaystyle \lambda _{k}}$ mínimo sucesivo se define como el inf de los números ${\displaystyle \lambda }$ de manera que ${\displaystyle \lambda K}$ contiene ${\displaystyle k}$ vectores linealmente independientes de ${\displaystyle \Gamma }$. El teorema de Minkowski sobre segundo Teorema de Minkowski, a veces llamado Segundo Teorema de Minkowski, es un refuerzo de su primer teorema y establece que^[3]​

${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}\operatorname {vol} (K)\leq 2^{n}\operatorname {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma ).}$

Investigaciones posteriores en la geometría de números

En 1930-1960, muchos teóricos de números (incluidos Louis Mordell, Harold Davenport y Carl Ludwig Siegel) realizaron investigaciones sobre la geometría de los números. En años posteriores, Lenstra, Brion y Barvinok han desarrollado teorías combinatorias que enumeran los puntos de la red en algunos cuerpos convexos.^[4]​

Teorema del subespacio de W. M. Schmidt

Véanse también: Lema de Siegel, Volumen, Determinante y Paralelepípedo.

En geometría de números, el teorema del subespacio fue obtenido por Wolfgang M. Schmidt en 1972.^[5]​ Establece que si n es un entero positivo, y L₁,...,L_n son formas lineales linealmente independientes en n variables con coeficientes algebraicos y si ε>0 es cualquier número real dado, entonces el entero distinto de cero apunta x en n coordenadas con

${\displaystyle |L_{1}(x)\cdots L_{n}(x)|<|x|^{-\varepsilon }}$

se encuentran situados en un número finito de subespacios propios de Qⁿ.

Influencia en el análisis funcional

Véanse también: Espacio de Banach y Espacio de Fréchet.

La geometría de los números de Minkowski tuvo una profunda influencia en el análisis funcional. Minkowski demostró que los cuerpos convexos simétricos inducen normas en espacios vectoriales de dimensión finita. El teorema de Minkowski fue generalizado a espacios vectoriales topológicos por Andréi Kolmogórov, cuyo teorema establece que los conjuntos convexos simétricos que son cerrados y acotados generan la topología de un espacio de Banach.^[6]​

Los investigadores continúan estudiando generalizaciones al conjunto estrella aguda y a otros conjuntos no convexos.^[7]​

Referencias

1. MSC classification, 2010, available at http://www.ams.org/msc/msc2010.html, Classification 11HXX.
2. Schmidt's books. Grötschel et alii, Lovász et alii, Lovász.
3. Cassels (1971) p. 203
4. Grötschel et alii, Lovász et alii, Lovász, and Beck and Robins.
5. Schmidt, Wolfgang M. Norm form equations. Ann. Math. (2) 96 (1972), pp. 526-551. Véanse también los libros de Schmidt; comparar Bombieri y Vaaler y también Bombieri y Gubler.
6. Para el teorema de normabilidad de Kolmogorov, véase "Functional Analysis" de Walter Rudin. Para obtener más resultados, consulte Schneider y Thompson y consulte Kalton y otros.
7. Kalton et alii. Gardner

Bibliografía

• Matthias Beck, Sinai Robins. Computing the continuous discretely: Integer-point enumeration in polyhedra, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 2007.
• Enrico Bombieri; Vaaler, J. (Feb 1983). «On Siegel's lemma». Inventiones Mathematicae 73 (1): 11-32. Bibcode:1983InMat..73...11B. S2CID 121274024. doi:10.1007/BF01393823. 
• Enrico Bombieri; Walter Gubler (2006). Heights in Diophantine Geometry. Cambridge U. P. 
• J. W. S. Cassels. An Introduction to the Geometry of Numbers. Springer Classics in Mathematics, Springer-Verlag 1997 (reprint of 1959 and 1971 Springer-Verlag editions).
• John Horton Conway and N. J. A. Sloane, Sphere Packings, Lattices and Groups, Springer-Verlag, NY, 3rd ed., 1998.
• R. J. Gardner, Geometric tomography, Cambridge University Press, New York, 1995. Second edition: 2006.
• P. M. Gruber, Convex and discrete geometry, Springer-Verlag, New York, 2007.
• P. M. Gruber, J. M. Wills (editors), Handbook of convex geometry. Vol. A. B, North-Holland, Amsterdam, 1993.
• M. Grötschel, Lovász, L., A. Schrijver: Geometric Algorithms and Combinatorial Optimization, Springer, 1988
• Hancock, Harris (1939). Development of the Minkowski Geometry of Numbers. Macmillan.  (Republished in 1964 by Dover.)
• Edmund Hlawka, Johannes Schoißengeier, Rudolf Taschner. Geometric and Analytic Number Theory. Universitext. Springer-Verlag, 1991.
• Kalton, Nigel J.; Peck, N. Tenney; Roberts, James W. (1984), An F-space sampler, London Mathematical Society Lecture Note Series, 89, Cambridge: Cambridge University Press, pp. xii+240, ISBN 0-521-27585-7, MR 0808777 .
• C. G. Lekkerkererker. Geometry of Numbers. Wolters-Noordhoff, North Holland, Wiley. 1969.
• Lenstra, A. K.; Lenstra, H. W. Jr.; Lovász, L. (1982). «Factoring polynomials with rational coefficients». Mathematische Annalen 261 (4): 515-534. MR 0682664. S2CID 5701340. doi:10.1007/BF01457454. hdl:1887/3810. 
• Lovász, L.: An Algorithmic Theory of Numbers, Graphs, and Convexity, CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics 50, SIAM, Philadelphia, Pennsylvania, 1986
• Malyshev, A.V. (2001), «Geometría de números», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .
• Minkowski, Hermann (1910), Geometrie der Zahlen, Leipzig and Berlin: R. G. Teubner, JFM 41.0239.03, MR 0249269, consultado el 28 de febrero de 2016 .
• Wolfgang M. Schmidt. Diophantine approximation. Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. (1980 [1996 with minor corrections])
• Schmidt, Wolfgang M. (1996). Diophantine approximations and Diophantine equations. Lecture Notes in Mathematics 1467 (2nd edición). Springer Science+Business Media. ISBN 3-540-54058-X. Zbl 0754.11020. 
• Siegel, Carl Ludwig (1989). Lectures on the Geometry of Numbers. Springer Science+Business Media. (requiere registro). 
• Rolf Schneider, Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
• Anthony C. Thompson, Minkowski geometry, Cambridge University Press, Cambridge, 1996.
• Hermann Weyl. Theory of reduction for arithmetical equivalence . Trans. Amer. Math. Soc. 48 (1940) 126–164. doi 10.1090/S0002-9947-1940-0002345-2
• Hermann Weyl. Theory of reduction for arithmetical equivalence. II . Trans. Amer. Math. Soc. 51 (1942) 203–231. doi 10.2307/1989946

• Datos: Q1466519