Geometría computacional

Cilindro renderizado mediante un programa de ordenador.

La geometría computacional es una rama de las ciencias de la computación dedicada al estudio de algoritmos que pueden ser expresados en términos de la geometría. Algunos de los problemas puramente geométricos surgen del propio estudio de dichos algoritmos, y este tipo de problemas también se considera parte de la geometría computacional.[1]​ También se considera una rama gráfica del ordenador.

Introducción

Una parte significativa del crecimiento que la Matemática Discreta, como un todo, ha experimentado en los últimos años, ha consistido en un desarrollo sustancial de la Geometría Discreta. Esto ha sido impulsado, en parte, por el desarrollo de ordenadores cada vez más potentes, y por la reciente explosión de actividad en el campo relativamente joven de la Geometría Computacional.

¿Y qué es la Geometría Computacional? En pocas palabras, es el arte de resolver problemas conceptualmente sencillos usando los menos recursos posibles y empleando el mínimo tiempo posible. La Geometría Computacional surgió a finales de los 70s del área de diseño y análisis de algoritmos. La mayoría de los estudios algorítmicos que abordaban estos problemas han ido apareciendo a lo largo de los últimos 150 años, aunque sobre todo en los últimos treinta. De todas formas, sólo muy recientemente han sido realizados estudios sistemáticos de algoritmos geométricos y cada día más investigadores se sienten atraídos por la disciplina que fue bautizada en 1975 por Shamos.

Hasta hace poco, Geometría Computacional se refería al diseño y análisis de algoritmos geométricos, pero en los últimos años ha ampliado su campo, y ahora también incluye el estudio de problemas geométricos desde un punto de vista computacional, incluyendo también convexidad computacional, topología computacional y complejidad combinatorial de disposiciones de poliedros.

En los últimos años ha aumentado el número de áreas en las que se aplican los resultados de esta disciplina. Entre las mismas se incluyen la ingeniería, cristalografía, diseño asistido por computador, sistemas de posicionamiento global, robótica, sistemas de detección de errores, modelado geométrico, gráficos por ordenador, optimización combinatorial, visión por ordenador, reconocimiento de patrones y modelado sólido.

Descripción

Es una disciplina constructiva, de carácter abstracto, que utiliza técnicas de la geometría clásica, la topología, la teoría de grafos, la teoría de conjuntos y el álgebra lineal. La geometría computacional es independiente de la tecnología de las máquinas de computación, si bien pone atención en proporcionar soluciones que se comporten de forma computacionalmente robusta.

La complejidad computacional es fundamental para la geometría computacional, con un enorme significado práctico si los algoritmos se usan en grandes conjuntos de datos que contienen decenas o cientos de millones de puntos. Para tales conjuntos, la diferencia entre O(n^2) y O(n logn) puede ser la diferencia entre días o segundos de computación.

El principal impulso para el desarrollo de la geometría computacional se lo dio el avance de la computación gráfica y el diseño asistido por ordenador (CAD/CAM), que hacen uso intensivo de las técnicas de esta disciplina. Otras aplicaciones importantes de la geometría computacional incluyen la robótica (planificación de movimientos y problemas de visualización), los sistemas de información geográfica (SIG) (localización y búsqueda geométrica, planificación de rutas), diseño de circuitos integrados (diseño geométrico y verifición de CI), ingeniería asistida por computadora (CAE) (programación de máquinas controladas numéricamente).

Las principales ramas de la geometría computacional son:

  • Geometría computacional combinatoria, también llamada geometría algorítmica, que trata de objetos geométricos como entidades discretas. Un libro sobre el tema por Preparata y Shamos fecha la primera utilización del término "geometría computacional" en este sentido en 1975.[2][1]
  • Geometría computacional numérica, que trata principalmente con la representación de objetos del mundo real en la forma adecuada para ser almacenada en un ordenador. Esta rama puede ser vista como un desarrollo de la geometría descriptiva y es a menudo considerada como una rama de los gráficos por ordenador o CAD. El término "geometría computacional", en este sentido ha estado en uso desde 1971.[3]

Complejidad algorítmica

Frecuentemente se tiene que un mismo problema puede resolverse mediante distintos algoritmos y es preciso establecer criterios que nos permita decidir cuál es mejor. En general se atiende a razones de economía en cuanto al número de operaciones que necesita el algoritmo para resolver el problema.

La complejidad de un algoritmo no es sino una medida del coste que supone su ejecución tanto en tiempo (o número de operaciones "elementales" que ha de realizar) como en espacio (o unidades de memoria requeridas para almacenar y manipular los datos a lo largo de la ejecución) y vendrá dada en función del número de datos de entrada.

El estudio de la complejidad de un algoritmo puede llevarse a cabo principalmente bajo dos puntos de vista:

      * Complejidad en el peor de los casos.

      * Complejidad en media (o esperada).

La primera consiste en medir la complejidad del algoritmo atendiendo a su ejecución cuando trata los datos del problema en el caso más desfavorable, entendiéndose por desfavorable el más costoso.

La segunda consiste en medir la complejidad haciendo un promedio entre todos los casos (favorables y no favorables) atendiendo a la probabilidad de que aparezcan como entrada. Para ello se supone que los datos de entrada vienen dados conforme a cierta distribución de probabilidad y se estudia cuál es el tiempo esperado de ejecución.

Si n es el tamaño del conjunto de datos de entrada de un determinado algoritmo, sus complejidades en tiempo y en espacio son funciones positivas de n y, en cuanto a su análisis, se está especialmente interesado en su comportamiento asintótico, es decir, en saber cómo se comportan para valores grandes de n.

La notación que utilizaremos en el estudio asintótico de estas funciones es la estándar propuesta por Knuth:

Si f(n) y g(n) dos funciones positivas se dirá que

1. "f es o grande de g" y se notará f(n) = O(g(n)) si existen una constante C > O y un número natural n0 > O tales que

f(n) menor Cg(n) para todo n > n0

2. "f es omega de g" y se notará f(n) Q(g(n)) si g(n) = O(f(n))

3. "f es theta de g" y se notará f(n) = O(g(n)) si f(n) = O(g(n)) y f(n) = Q(g(n)).

Geometría computacional combinatoria

Triangulación de un polígono. 1. Abanico. 2. Mínimo peso 3. Delaunay
Cálculo del cierre convexo de un conjunto de puntos por el Método de Graham.
Triangulación de Delaunay y Diagrama de Voronoi de un conjunto de puntos.

El objetivo principal de la geometría computacional combinatoria es el desarrollo de algoritmos y estructuras de datos eficientes para resolver problemas basado en términos de objetos geométricos: puntos, segmentos, polígonos, poliedros, etc.

Algunos de estos problemas parecen tan simples que no fueron considerados como tal hasta la llegada de los ordenadores. Por ejemplo, la determinación del cierre convexo de un conjunto de puntos puede ser realizada de forma intuitiva sobre un papel utilizando una regla, pero no es tan evidente dar las instrucciones a un ordenador para que lo resuelva. Otro problema, el de encontrar el par de puntos más cercanos puede ser implementado de forma sencilla mediante una búsqueda por fuerza bruta, calculando la distancia entre las n(n-1)/2 combinaciones posibles de pares de puntos y eligiendo la menor, pero esta solución no es aplicable para conjuntos con un elevado número de puntos. [4][5]

Algunos problemas clásicos

A continuación se enumeran algunos problemas clásicos que han sido estudiados en el campo de la Geometría computacional combinatoria:[6][7][8][9]

Problemas dinámicos

Otra gran clase es la de los problemas dinámicos, en la cual el objetivo es encontrar un algoritmo eficiente para encontrar la solución repetidamente tras cada modificación incremental de los datos de entrada (adición o supresión de los elementos geométricos de entrada). Los algoritmos para los problemas de este tipo típicamente supone estructuras dinámicas de datos. Cualquiera de los problemas de geometría computacional puede ser convertido en uno dinámico, con el coste de incrementar el tiempo del proceso. Por ejemplo, el problema de la búsqueda de rango provisto de adición y/o supresión de los puntos. El problema de la Envolvente convexa dinámica es mantener un seguimiento de la envolvente convexa; por ejemplo, para los conjuntos de datos que cambian dinámicamente, o mientras que los puntos de entrada son insertados o suprimidos. La complejidad computacional para esta clase de problemas se estima mediante:

  • El tiempo y espacio requeridos para construir la estructura de datos que se va a buscar.
  • El tiempo y espacio para modificar la estructura de datos buscada después de un cambio incremental en el espacio de búsqueda.
  • El tiempo (y a veces un extra de espacio) para responder la consulta.

Sistemas de Geometría Dinámica (SGD/DGS) el término sistema aludiendo a un conjunto integrado de componentes como principal elemento un núcleo o kernel de geometría dinámica computacional con interfaz gráfica de usuario (GUI) y en algunos casos incluye scripts para automatizar procedimientos como lo realiza la aplicación GeoGebra

Variantes

Algunos problemas pueden ser tratados bajo el punto de vista estático y dinámico dependiendo del contexto. Por ejemplo, considerando el siguiente problema:

  • Punto en un polígono: Decide si un punto está dentro o fuera de un polígono dado.

Muchas de las puestas en práctica de este problema dan resultados con un único intento, esto es, perteneciendo a la primera clase. Por ejemplo, en muchas aplicaciones de la computación gráfica, un problema común es encontrar en qué área de la pantalla se hace clic con el cursor. Sin embargo, en algunas aplicaciones el polígono en cuestión es invariante, mientras que el punto representa una consulta. Por ejemplo, el polígono de entrada puede representar la frontera de un país y el punto es la posición de un avión, y el problema es determinar si el avión ha violado la frontera. Finalmente, el ejemplo anteriormente mencionado de la computación gráfica, en aplicaciones CAD los datos de entrada que cambian son usualmente almacenados en estructuras de datos dinámicas, lo cual puede ser explotado para agilizar las consultas de punto en un polígono. En algunos contextos de problemas de consultas hay expectativas razonables en la secuencia de las consultas, la cual puede ser aprovechada ya sea por estructuras de datos eficientes o por estimaciones de la complejidad computacional más ajustadas. Por ejemplo, en algunos casos es importante saber el peor caso para el tiempo total de la secuencia de N consultas antes que el de una única consulta.

Aplicaciones de la geometría computacional

Uno de los aspectos más interesantes de la Geometría Computacional es la gran aplicabilidad de sus resultados.

El significado del término computación se ha expandido notoriamente desde la introducción de los ordenadores, hará ahora unos cincuenta años.

Atendiendo a los objetos que procesan, destacan tres tipos de aplicaciones de los ordenadores. La primera generación va a ser la de los cálculos numéricos, aplicados sobre todo a problemas científicos y técnicos. La segunda, propiciada por necesidades más comerciales y administrativas, incorporaba largas listas de datos (por ejemplo alfabéticos), con vistas a cómo leer, almacenar, modificar, seleccionar, e imprimir esos datos.

Todo esto naturalmente pervive, y con fuerza, pero vivimos una tercera generación de aplicaciones dominada por el procesamiento de información geométrica y gráfica, presente en áreas tan diversas como son la medicina, la cartografía, el control de robots o el diseño artístico. La Geometría Computacional ha emergido, ciertamente, por la necesidad de dar respuesta a esta nueva y creciente demanda.

Se podría decir que las aplicaciones van a preceder la disciplina, y ahora que ésta tiene ya un núcleo teórico sólidamente constituido, como sus vertientes prácticas corresponden a tecnología de máxima vanguardia, la demanda de resultados continúa con la misma fuerza y exigencia que al principio. Por eso diremos que, en Geometría Computacional, las aplicaciones tienen un protagonismo esencial.

Dentro de los campos de aplicación más directamente relacionados con la disciplina se destacan:

    La Informática Gráfica

    El Diseño y Fabricación Asistida por Ordenador (CAD/CAM)

    La Caracterización y Reconocimiento Automático de Formas (Pattern Recognition)

    El Diseño VLSI

    La Visión Artificial

    La Cartografía

    La Robótica

A continuación se muestran algunos problemas particulares que se plantean en algunas de estas áreas, y en las que se han realizado contribuciones (en algunos casos, muy importantes) por parte de la Geometría.

Gráficos por ordenador

Lo que se entiende hoy por Gráficos por Ordenador (o Informática Gráfica), pese a ser una rama de Informática que también se ocupa de los fenómenos geométricos desde el punto de vista del cálculo, es un área bien distinta de la Geometría Computacional.

Mientras que ésta se ocupa de proporcionar los fundamentos teóricos involucrando el estudio de algoritmos y de estructuras de datos para hacer cálculos geométricos, la Informática Gráfica se ocupa del desarrollo práctico del software, hardware y algoritmos necesarios para crear gráficos en la pantalla del ordenador.

Sin embargo, ambas tienen algunas técnicas similares (otras muy distintas), y sin duda alguna, se influencian mutuamente. Desde el ámbito de los informática gráfica se dan a conocer problemas prácticos a la comunidad de estudiosos de la Geometría Computacional, y la Geometría Computacional aporta algoritmos rápidos que los resuelven. Se espera que la Geometría Computacional haga grandes mejoras a los algoritmos estándar usados en gráficos por ordenador.

La Geometría Computacional también proporciona nuevas maneras de pensar los problemas a los programadores de gráficos.

Una cuestión muy importante en informática gráfica es la representación realista de escenas complejas. Uno de los requisitos es la eliminación de líneas y superficies ocultas a partir de un modelo tridimensional. Las primeras soluciones razonablemente satisfactorias van a iniciar áreas importantes de investigación dentro de la geometría computacional, concretamente los problemas de intersección. Los resultados de estas investigaciones han dado nuevas aplicaciones en informática gráfica. De modo que hay una interacción continua en este problema como en otros muchos otros.

Otros problemas fundamentales que aparecen en Gráficos son: el trazado de rayos, la aproximación de contornos mediante poligonales y la triangulación de polígonos. En todos ellos la Geometría Computacional ha realizado recientemente contribuciones significativas.

En una habitación poligonal (galería de arte) en el plano se colocan cuatro cámaras de manera que se pueda vigilar con ellas toda la sala. Si se está interesado en averiguar cuál es la región que es visible por una sola cámara esto es equivalente a eliminar las porciones del polígono que quedan ocultas. Uno de los algoritmos estándar usado para resolver este problema de líneas ocultas en el plano es el debido a Freeman y Loutrel hace más de diez años antes de lo que se atribuye como el nacimiento de la Geometría Computacional. Dicho algoritmo corre en tiempo 0(n2) donde n es el número de lados del polígono.

Utilizando técnicas desarrolladas para el diseño de algoritmos en Geometría Computacional, ElGindy y Avis consiguieron un algoritmo para este problema que corre en tiempo (óptimo) 0(n), cuando n es grande esto supone una mejora sustancial en la velocidad de ejecución.

Fabricación industrial

A continuación, algunos ejemplos en este campo.

Modelado por inyección

Una de las técnicas utilizadas en la fabricación industrial de objetos consiste en utilizar moldes en los que se inyectan ciertos materiales líquidos que al solidificar dan lugar al objeto requerido con la forma imprimida por el molde.

Durante la inyección del líquido, el molde es colocado en una posición favorable de manera que no aparezcan defectos en la superficie tales como burbujas de aire y se garantice un llenado completo. Dos de los problemas que surgen en este contexto son: dado un objeto tridimensional como molde , establecer si existe una orientación que permite el llenado del molde usando sólo un punto de inyección y determinar una orientación que permita el llenado más completo.

Habitualmente en la práctica se sigue un proceso de prueba y error utilizando ciertas técnicas intuitivas.

Robótica

Una de las principales aplicaciones de Geometría Computacional tiene que ver con problemas de robótica. Dos ejemplos de ellos: la planificación de movimientos y el ensamblaje automático.

En el primero, el problema típico involucra un robot, generalmente modelizado como un punto, un disco, o un polígono en dos dimensiones, o bien como un poliedro en tres dimensiones que ha de moverse en el espacio entre una colección de obstáculos. Una de las preguntas usuales es ¿puede moverse el robot desde un punto A a otro B sin colisionar con los obstáculos?

Si es así, se deberá encontrar la trayectoria más corta. Localización de una trayectoria libre de colisiones.

El ensamblaje automático es un caso especial de problema de planificación de movimientos en el que consideramos una colección de objetos y la pregunta es si puede ser separada en partes o unir en una configuración determinada, y si es así, qué tipo de movimientos (giros, traslaciones, etc.) garantizan esa respuesta.

Estructuras de datos clásicas

Algunas estructuras empleadas en la resolución de problemas de forma eficiente:

  • Diagrama de Voronoi : Dado un conjunto de puntos, crear una partición del plano de acuerdo al punto más cercano.
  • Triangulación de Delaunay : Dado un conjunto de puntos, crear la mejor triangulación para interpolar valores en su interior.
  • Octree y Árbol kd : Organizar el espacio para realizar búsquedas geométricas de forma efectiva.

Geometría computacional numérica

Pieza modelada en Software CAD

Esta rama también llamada geometría máquina, diseño geométrico asistido por computador (CAGD), o modelado geométrico, trata principalmente del estudio de modelado y representación de curvas y superficies por ordenador. Para ello, emplea elementos como curvas y superficies paramétricas, (tipo curvas de Bézier o Splines) o curvas no paramétricas (como conjuntos de nivel).

Las áreas de aplicación incluyen industrias como diseño de naves, aeronaves y automóviles, diseño de escenarios y personajes de videojuegos, o animación por computadora, entre otras.

Bibliografía

http://www.dma.fi.upm.es/personal/gregorio/geometria_computacional/web/shortest_path/html/Geometria_Computacional.htm

https://personal.us.es/almar/docencia/practicas/

Referencias y enlaces externos

  1. a b Shamos, Michael (1978). «Computational Geometry» (PDF). Yale University. 
  2. Franco P. Preparata and Michael Ian Shamos (1985). Computational Geometry - An Introduction. Springer-Verlag. 1st edition: ISBN 0-387-96131-3; 2nd printing, corrected and expanded, 1988: ISBN 3-540-96131-3. 
  3. Forrest, A. (1971). «Computational geometry». Proc. Royal Society London 321 (1545). doi:10.1098/rspa.1971.0025. 
  4. Khuller, Samir; Matias, Y. (1995). «A simple randomized sieve algorithm for the closest-pair problem». Information and Computation 118 (1): 34-37. doi:10.1006/inco.1995.1049. 
  5. Fortune, Steve; Hopcroft, J.E. (1979). «A note on Rabin's nearest-neighbor algorithm». Information Processing Letters 8 (1): 20-23. 
  6. Morales, Miguel Ángel (27 de junio de 2011). «Una interesante introducción a la Geometría Computacional». Gaussianos. Consultado el 1 de marzo de 2017. 
  7. Rivero, Francisco. «Geometría Computacional». Consultado el 1 de marzo de 2017. 
  8. Grima, Clara (2011). «Cada uno en su región y Voronoi en la de todos». Naukas. 
  9. O'Rourke, Joseph. Computational Geometry in C (2 edición). Cambridge University Press. ISBN 9780521649766. 

Otros recursos

Read other articles:

استئصال معدي رسم مخطط للمعدة. معلومات عامة تعديل مصدري - تعديل   الاستئصال المعدي[1][2] (بالإنجليزية: gastrectomy)‏ هو الإزالة الجراحية الجزئية أو الكاملة للمعدة.[3][4][5] أول استئصال معدي ناجح أدّاه ثيودور بيلروث في 1881 لسرطان المعدة. عمليات الاستئصال المعدي تؤد

 

Bad Sulza Brasão Mapa Bad SulzaMapa da Alemanha, posição de Bad Sulza acentuada Administração País  Alemanha Estado Turíngia Distrito Weimarer Land Prefeito Johannes Hertwig Partido no poder CDU Estatística Coordenadas geográficas 51° 05' 16 N 11° 05' 24 E Área 10,61 km² Altitude 140 m População 3.053 (31/12/2006) Densidade populacional 287,75 hab./km² Outras Informações Código postal 99516–99518 Código telefônico 036461 Website sítio oficial Bad S...

 

Si ce bandeau n'est plus pertinent, retirez-le. Cliquez ici pour en savoir plus. La mise en forme de cet article est à améliorer (juillet 2022). La mise en forme du texte ne suit pas les recommandations de Wikipédia : il faut le « wikifier ». Comment faire ? Les points d'amélioration suivants sont les cas les plus fréquents. Le détail des points à revoir est peut-être précisé sur la page de discussion. Les titres sont pré-formatés par le logiciel. Ils ne sont...

2021 historical drama television series DominaGenreHistorical dramaCreated bySimon BurkeStarring Nadia Parkes Tom Glynn-Carney Enzo Cilenti Peter Campion Darrell D'Silva Tom Forbes Liam Garrigan Oliver Huntingdon Alexandra Moloney Bailey Spalding Melodie Wakivuamina Liam Cunningham Alex Lanipekun Isabella Rossellini Kasia Smutniak Matthew McNulty Ben Batt Christine Bottomley Colette Dalal Tchantcho Claire Forlani Finn Bennett Earl Cave Youssef Kerkour Liah O'Prey David Avery Benjamin Isaac Jo...

 

額田 坦生誕 1895年9月5日 日本 岡山県死没 (1976-09-21) 1976年9月21日(81歳没)所属組織 日本陸軍軍歴 1917年 - 1946年最終階級 陸軍中将テンプレートを表示 額田 坦(ぬかた ひろし[1]、1895年〈明治28年〉9月5日 - 1976年〈昭和51年〉9月21日)は、日本の陸軍軍人。最終階級は陸軍中将。 経歴 医師・額田篤太の三男として生れる。岡山一中、広島陸軍地方幼年学校、中央幼年...

 

إيست ريفرديل   الإحداثيات 38°57′23″N 76°54′49″W / 38.9564°N 76.9136°W / 38.9564; -76.9136  تقسيم إداري  البلد الولايات المتحدة[1]  التقسيم الأعلى مقاطعة برينس جورج  خصائص جغرافية  المساحة 4.23037 كيلومتر مربع4.191885 كيلومتر مربع (1 أبريل 2010)  ارتفاع 11 متر  عدد السكا...

Museum for the United Nations - UN LiveEstablished2016LocationCopenhagen, DenmarkCEOMolly FannonWebsitehttp://museumfortheun.org/ The Museum for the United Nations — UN Live is a global institution based in Copenhagen.[1][2] Its mission is to “unleash the power of culture to inspire local action and drive global change”.[3] UN Live describes itself as an unconventional and borderless museum that seeks to reach and connect people on a global scale to the values an...

 

У этого термина существуют и другие значения, см. самое большое простое число. Эту страницу предлагается переименовать в «Самое большое простое число (группа)».Пояснение причин и обсуждение — на странице Википедия:К переименованию/27 июня 2022. Пожалуйста, основывайте св...

 

Person who is cast adrift or ashore, usually in a shipwreck For the 2000 film, see Cast Away. For other uses, see castaway (disambiguation). U.S. merchant seamen try to revive a shipwrecked Filipino fisherman rescued in the South China Sea (1983) Castaways may need to survive on a desert island. A castaway is a person who is cast adrift or ashore. While the situation usually happens after a shipwreck, some people voluntarily stay behind on a desert island, either to evade captors or the world...

Lighthouse in Tamil Nadu, India LighthouseMahabalipuram Lighthouse LocationMamallapuram, Tamil Nadu, India Coordinates12°36′55″N 80°11′31″E / 12.615285°N 80.191818°E / 12.615285; 80.191818TowerConstructionstone (tower) Height26 m (85 ft) Shapecylinder Markingsunpainted (tower), red (dome) Power sourcemains electricity LightFirst lit1900 Focal height42 m (138 ft) Lenssecond order Fresnel lens Ra...

 

Опис Ольга Нилівна Мак (1913 — 1998). письменниця Джерело http://www.in.ndu.edu.ua/ndu/data/biblio/vistavka.php?page_name=vistavka Автор зображення Ліцензія Ця робота є невільною — тобто, не відповідає визначенню вільних творів культури. Згідно з рішенням фонду «Вікімедіа» від 23 березня 2007 року вона мо...

 

1968 aviation accident Allegheny Airlines Flight 736A Convair 580 similar to the one involvedOccurrenceDateDecember 24, 1968SummaryControlled flight into terrain[1]SiteNear Bradford Regional Airport, Bradford, Pennsylvania41°46′4″N 78°36′6″W / 41.76778°N 78.60167°W / 41.76778; -78.60167AircraftAircraft typeConvair CV-580OperatorAllegheny AirlinesRegistrationN5802Flight originDetroit, Michigan1st stopoverErie International AirportDestinationBrad...

Pembantaian Bình AnLokasiHamlet Gò Dài, desa Binh An (sekarang xã Tây Vinh) di distrik Tây Sơn, provinsi Bình Định, Vietnam SelatanTanggal26 Februari 1966SasaranPara penduduk desa Binh AnJenis seranganPembantaianKorban tewas380[1][2]PelakuDivisi Ibukota ROK lbsPembantaian saat Perang Vietnam Huế Châu Đốc Tây Vinh Bình An Binh Tai Tinh Son Bình Hòa Phong Nhị dan Phong Nhất Hà My Đắk Sơn My Lai Pasukan Harimau Operation Speedy Express Penyelidikan P...

 

You can help expand this article with text translated from the corresponding article in Portuguese. (September 2011) Click [show] for important translation instructions. View a machine-translated version of the Portuguese article. Machine translation, like DeepL or Google Translate, is a useful starting point for translations, but translators must revise errors as necessary and confirm that the translation is accurate, rather than simply copy-pasting machine-translated text into the Engl...

 

Ukrainian singer and actress (born 2001) Sofia TarasovaСофія ТарасоваSofia Tarasova in 2016Background informationBirth nameSofia Mikhaylivna TarasovaBorn (2001-03-31) 31 March 2001 (age 22)Kyiv, UkraineGenresPopOccupation(s)singeractressInstrument(s)VocalsYears active2006–presentFormerly ofNu VirgosMusical artist Sofia Mikhaylivna Tarasova (Ukrainian: Софія Михайлівна Тарасова; born 31 March 2001) is a Ukrainian singer, actress and former member of t...

Hospital in EnglandPetersfield HospitalSouthern Health NHS Foundation TrustPetersfield HospitalShown in HampshireGeographyLocationSwan Street, Petersfield, Hampshire, England, United KingdomCoordinates51°00′14″N 0°56′32″W / 51.0040°N 0.9423°W / 51.0040; -0.9423OrganisationCare systemPublic NHSTypeCommunityHistoryOpened1871LinksWebsitewww.southernhealth.nhs.uk/locations/petersfield-community-hospital/ListsHospitals in England Petersfield Hospital is a health...

 

2002 EP by Prefuse 73The '92 vs. '02 CollectionEP by Prefuse 73ReleasedJune 24, 2002 (2002-06-24)GenreInstrumental hip hopLabelWarpProducerScott HerrenPrefuse 73 chronology Vocal Studies + Uprock Narratives(2001) The '92 vs. '02 Collection(2002) One Word Extinguisher(2003) The '92 vs. '02 Collection is a 2002 EP by Guillermo Scott Herren released under the alias of Prefuse 73. It was released by Warp in 2002. Style Unlike his previous album Vocal Studies + Uprock Narrat...

 

Islamic missionary (d. 748) For the 14th century Delhi Sultanate general, see Zafar Khan Malik Dinar. Mālik b. Dīnār, مالك بن دينارThe grave adornment (Mazar) of Malik DinarPreacher, Theologian, Mystic, AsceticBornKufa, Iraq[1]Died748 C.E.possibly Thalangara, Kasaragod, Kerala, IndiaMajor shrineMalik Dinar Mosque, Thalangara, Kasaragod, Kerala, IndiaInfluencesAli, Hasan al-Basri Part of a series on IslamSufismTomb of Abdul Qadir Gilani, Baghdad, Iraq Ideas Abdal Al-Insā...

Temple for the Hindu god Rama Sree Ramar TempleReligionAffiliationHinduismDeityRamaLocationLocation51 Changi Village Road, Singapore 509908CountrySingaporeLocation within SingaporeGeographic coordinates1°23′16.66″N 103°59′12.86″E / 1.3879611°N 103.9869056°E / 1.3879611; 103.9869056ArchitectureTypeDravidian architectureCreatorMr. Ram NaiduWebsiteOfficial Website Sree Ramar Temple (Tamil: ஸ்ரீ ராமர் கோவில்) is a temple for the Hi...

 

Untuk kegunaan lain, lihat Edward (disambiguasi). EdwardEdward I, Raja InggrisPelafalan/ˈɛdwərd/bahasa Polandia: [ˈedvart]bahasa Jerman: [ˈedvart]Jenis kelaminPriaAsal usulKataInggris Kuno: ĒadweardArtiKekayaan, Kemakmuran atau Keberuntungan dan Penjaga atau PelindungAlternatifNama terkaitEduard, Édouard, Eduardo, Edvard, Eðvarðr, Eduardas, Edvardas, Eddie, Ed, Edd, Ned, Ted, Ward, Woody Edward adalah nama depan Inggris. Itu berasal dari Anglo-Saxon nama Ēadweard, terdiri ...

 

Strategi Solo vs Squad di Free Fire: Cara Menang Mudah!