Un espacio maximalmente simétrico (EMS) es un espacio métrico en el que puede definirse el concepto de dimensión y donde el grupo de simetría tiene la dimensión máxima posible. Si se considera un espacio métrico real de dimensión d la dimensión máxima posible del grupo de isometría, que es un grupo de Lie, resulta ser d(d+1)/2.
Espacio euclídeo
En el espacio euclídeo el grupo de traslaciones tiene dimensión d y el de rotaciones tiene dimensión:
La combinación de traslaciones, rotaciones y simetría especulares y de inversión varias da el grupo de isometría del espacio que por tanto tiene dimensión:
El grupo de isometría del espacio euclídeo admite el siguiente isomorfismo:
La geometría hiperbólica y la geometría elíptica (además de la geometría euclídea) son casos particulares de geometrías riemannianas uniformes que son maximalmente simétricas. Para las geometrías hiperbólica y elíptica existe un parámetro llamado "radio" R relacionado con el valor no nulo de C mediante la relación:
escogiendo el sistema de unidades adecuadamente puede obtenerse |R| = 1 y por tanto |C| = 1. En el caso de la geometría elíptica R coincide con el radio de la n-esfera que se use como modelo de geometría elíptica.
Los grupos de isometría de los espacios maximalmente simétricos de curvatura positiva y negativa son:
Donde:
, son repsectivamente el EMS de curvatura positiva y el EMS de curvatura negativa.