Envolvente afín

En matemáticas, la envolvente afín de un conjunto S en un espacio euclídeo Rⁿ es el espacio afín más pequeño que contiene a S,^[1]​ o equivalentemente, la intersección de todos los conjuntos afines que contienen a S. Aquí, un conjunto afín puede definirse como la traslación de un subespacio vectorial.^[2]​

La envolvente afín aff(S) de S es el conjunto de todas las combinaciones afines de elementos de S, es decir,

${\displaystyle \operatorname {aff} (S)=\left\{\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}x_{i}\,{\Bigg |}\,k>0,\,x_{i}\in S,\,\alpha _{i}\in \mathbb {R} ,\,\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}=1\right\}.}$

Ejemplos

• La envolvente afín del conjunto vacío es el conjunto vacío.
• La envolvente afín de un conjunto unitario (un conjunto formado por un solo elemento) es el propio elemento.
• La envolvente afín de un conjunto de dos puntos diferentes es la recta que pasas a través de ellos.
• La envolvente afín de un conjunto de tres puntos que no están en una línea recta es el plano que los atraviesa.
• La envolvente afín de un conjunto de cuatro puntos que no están en un plano en R³ es el espacio completo R³.

Propiedades

Para cualquier subconjunto ${\displaystyle S,T\subseteq X}$

• ${\displaystyle \operatorname {aff} (\operatorname {aff} S)=\operatorname {aff} S}$
• ${\displaystyle \operatorname {aff} S}$ es un conjunto cerrado si ${\displaystyle X}$ es de dimensión finita.
• ${\displaystyle \operatorname {aff} (S+T)=\operatorname {aff} S+\operatorname {aff} T}$
• Si ${\displaystyle 0\in S}$, entonces ${\displaystyle \operatorname {aff} S=\operatorname {span} S}$.
• Si ${\displaystyle s_{0}\in S}$, entonces ${\displaystyle \operatorname {aff} (S)-s_{0}=\operatorname {span} (S-s_{0})}$ es un subespacio lineal de ${\displaystyle X}$.
• ${\displaystyle \operatorname {aff} (S-S)=\operatorname {span} (S-S)}$.
  • Entonces, en particular, ${\displaystyle \operatorname {aff} (S-S)}$ es siempre un subespacio vectorial de ${\displaystyle X}$.
• Si ${\displaystyle S}$ es convexo, entonces ${\displaystyle \operatorname {aff} (S-S)=\displaystyle \bigcup _{\lambda >0}\lambda (S-S)}$
• Para cada ${\displaystyle s_{0}\in S}$, ${\displaystyle \operatorname {aff} S=s_{0}+\operatorname {cone} (S-S)}$ donde ${\displaystyle \operatorname {cone} (S-S)}$ es el cono más pequeño que contiene a ${\displaystyle S-S}$ (aquí, un conjunto ${\displaystyle C\subseteq X}$ es un cono si ${\displaystyle rc\in C}$ es para todos los ${\displaystyle c\in C}$ y todos los ${\displaystyle r\geq 0}$ no negativos).
  • Por lo tanto, ${\displaystyle \operatorname {cone} (S-S)}$ es siempre un subespacio lineal de ${\displaystyle X}$ paralelo a ${\displaystyle \operatorname {aff} S}$.

Conjuntos relacionados

• Si en lugar de una combinación afín se utiliza una combinación convexa, es decir, en la fórmula anterior se requiere que todos los ${\displaystyle \alpha _{i}}$ sean no negativos, se obtiene la envolvente convexa de S, que no puede ser mayor que la envolvente afín de S a medida que haya más restricciones involucradas.
• La noción de combinación cónica da origen a la noción de envolvente cónica.
• Sin embargo, si no se impone ninguna restricción a los números ${\displaystyle \alpha _{i}}$, en lugar de una combinación afín se tiene un combinación lineal, y el conjunto resultante es el sistema generador de S, que contiene la envolvente afín de S.

Referencias

1. Roman, 2008, p. 430 §16
2. Stephen P. Boyd, Lieven Vandenberghe (2004). Convex Optimization, Parte 1. Cambridge University Press. pp. 23 de 716. ISBN 9780521833783. Consultado el 27 de noviembre de 2023. 

Fuentes

• R.J. Webster, Convexity, Oxford University Press, 1994. ISBN 0-19-853147-8.
• Roman, Stephen (2008). Advanced Linear Algebra. Graduate Texts in Mathematics (Third edición). Springer. ISBN 978-0-387-72828-5. 

• Datos: Q382504