Adjunkta operatoro

En matematiko, adjunkta operatoro aŭ hermita adjunkta operatoro estas lineara operatoro konstruita surbaze de la fonta lineara operatoro sur hilberta spaco. Ĉiu lineara operatoro havas respektivan adjunktan operatoron.

Adjunkta de operatoro estas ĝeneraligo de konjugita transpono de kvadrata matrico al (eble) malfinidimensia okazo.

La adjunkta de operatoro A estas skribata kiel A^* aŭ A^† (la lasta aparte uzata kun la < > skribmaniero).

Difino por baritaj operatoroj

Estu H hilberta spaco, kun ena produto <·,·>. Estu kontinua lineara operatoro A : H → H (ĉi tiu estas la samo kiel barita operatoro).

Per la prezenta teoremo de Riesz, eblas montri ke ekzistas unika kontinua lineara operatoro A^* : H → H kun jena propraĵo:

<Ax , y> = <x , A^*y> por ĉiuj x kaj y en H

Ĉi tiu operatoro A^* estas la adjunkta de A.

Ĉi tio povas esti konsiderata kiel ĝeneraligo de la konjugita transpono de kvadrata matrico kiu havas similan propraĵon engaĝante la norman kompleksan enan produton.

Propraĵoj

• A^** = A
• Se A estas inversigebla, do A* estas inversigebla. Tiam, (A^*)^-1 = (A⁻¹)^*.
• (A+B)^* = A^* + B^*
• (λA)^* = λ^* A^*, kie λ^* estas la kompleksa konjugito de la kompleksa nombro λ.
• (AB)^* = B^* A^*

Se difini la operatoran normon de A kiel

${\displaystyle \|A\|_{op}:=\sup\{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\}}$

tiam

${\displaystyle \|A^{*}\|_{op}=\|A\|_{op}}$.

Ankaŭ,

${\displaystyle \|A^{*}A\|_{op}=\|A\|_{op}^{2}}$

La aro de baritaj linearaj operatoroj sur Hilberta spaco H kaj ankaŭ la adjunkta operacio kaj la operatora normo formas la prototipo de C* algebro.

La interrilato inter la bildo de A kaj la kerno de ĝia adjunkto estas

${\displaystyle \ker A^{*}=\left(\operatorname {im} \ A\right)^{\bot }}$

${\displaystyle \left(\ker A^{*}\right)^{\bot }={\overline {\operatorname {im} \ A}}}$

Pruvo de la unua ekvacio:

${\displaystyle A^{*}x=0\iff }$

${\displaystyle \langle A^{*}x,y\rangle =0\quad \forall y\in H\iff }$

${\displaystyle \langle x,Ay\rangle =0\quad \forall y\in H\iff }$

${\displaystyle x\ \bot \ \operatorname {im} \ A}$

La dua ekvacio sekvas de la unua per preno de la perpendikulara spaco je ambaŭ flankoj. Notu, ke ĝenerale, la bildo ne nepre estas fermita, sed la kerno de kontinua operatoro ĉiam estas fermita.

Memadjunktaj operatoroj

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Memadjunkta operatoro.

Barita operatoro A : H → H estas nomata kiel memadjunkta aŭ hermita se

A = A^*

kiu estas ke

<Ax , y> = <x , Ay> por ĉiuj x kaj y en H

Iusence, ĉi tiuj operatoroj ludas la rolon de la reelaj nombroj (ĉar ili estas simile egalaj al sia kompleksa konjugito). Ili servas kiel la modelo de reelo-valora videblaj en kvantuma mekaniko.

Adjunktaj operatoroj de nebaritaj operatoroj

Multaj gravaj operatoroj estas ne kontinuaj kaj estas nur difinitaj sur subspaco de hilberta spaco. En ĉi tiu situacio, oni povas ankoraŭ difini adjunktan operatoron, kiel ekzemple eblas por nebaritaj operatoroj.

Vidu ankaŭ

• Kompleksa konjugito
• Konjugita transpono
• Kvadrata matrico
• Ena produto
• Hilberta spaco
• Memadjunkta operatoro
• Memadjunkta matrico
• Unita operatoro
• Normo (matematiko)
• Operatora normo