Memadjunkta matrico

En lineara algebro, memadjunkta matrico aŭ hermita matrico estas kvadrata matrico kun kompleksaj elementoj kiu estas egala al sia konjugita transpono. Alivorte, ĉiu ero en la i-a linio kaj j-a kolumno estas egala al la kompleksa konjugito de la ero en la j-a linio kaj i-a kolumno, a_ij=a_ji^*, por ĉiuj eblaj valoroj de i kaj j:

Se la konjugita transpono de matrico A estas signifita per ${\displaystyle A^{\dagger }}$, tiam por memadjunkta matrico A

${\displaystyle A=A^{\dagger }.\,}$

Ekzemple,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&2+i\\2-i&1\end{bmatrix}}}$

estas memadjunkta matrico.

Propraĵoj

La elementoj sur la ĉefdiagonalo de memadjunkta matrico estas nepre reelaj. Reela simetria matrico estas specifa okazo de memadjunkta matrico.

Ĉiu memadjunkta matrico estas normala, kaj la finidimensia spektra teoremo aplikas. Ĝi diras ke ĉiu memadjunkta matrico povas esti diagonaligita per unita matrico, kaj ke la rezultanta diagonala matrico havas nur reelajn elementojn. Ĉi tio signifas ke ĉiuj ajgenoj de memadjunkta matrico estas reelaj, kaj, ajgenvektoroj de malsamaj ajgenoj estas perpendikularaj. Ebla trovi ortnormalan bazon de Cⁿ konsistantan nur de ajgenvektoroj.

La sumo kaj diferenco de du memadjunktaj matricoj estas denove memadjunkta, sed ĉi tio estas ne ĉiam vera por la produto: por donitaj memadjunktaj matricoj A kaj B, AB estas memadjunkta se kaj nur se A kaj B komutiĝas, kio estas, se AB = BA. Du reelaj simetriaj matricoj komutiĝi se kaj nur se ili havas la samajn ajgenspacojn. Tiel Aⁿ estas memadjunkta se A estas memadjunkta matrico kaj n estas pozitiva entjero.

La inverso de inversigebla memadjunkta matrico estas memadjunkta matrico.

La memadjunktaj n×n matricoj formas vektora spaco super la reelaj nombroj (sed ne super la kompleksaj nombroj). La dimensio de ĉi tiu spaco estas n² (po unu grado de libereco por ĉiu reela ĉefdiagonala ero, kaj po du gradoj de libereco por ĉiu kompleksa ero pli supre de la ĉefdiagonalo).

Se ĉiuj ajgenoj de memadjunkta matrico estas pozitivaj, la matrico estas pozitive difinita; se ili estas ĉiuj nenegativa, tiam la matrico estas pozitive duondifinita.

Sumo de kvadrata matrico kaj ĝia konjugita transpono ${\displaystyle (C+C^{\dagger })}$ estas memadjunkta.

Diferenco de kvadrata matrico kaj ĝia konjugita transpono ${\displaystyle (C-C^{\dagger })}$ estas deklivo-memadjunkta matrico.

Ajna kvadrata matrico C povas esti skribita kiel la sumo de memadjunkta matrico A kaj deklivo-memadjunkta matrico B:

C = A+B

kie ${\displaystyle A={\frac {1}{2}}(C+C^{\dagger })}$

${\displaystyle B={\frac {1}{2}}(C-C^{\dagger })}$

Hermita vico

Hermita vico aŭ hermita vektoro estas vico (a_k) kun k=0, 1,..., n tia ke:

Im (a₀)=0, a_k=(a_n-k)^* por k=0, 1,..., n.

kie Im (x) estas la imaginara parto de x. El la kondiĉo sekvas ke a_n/2 estas reela se n estas para.

La diskreta konverto de Fourier de reela vico estas hermita vico. Male, la inverso diskreta konverto de Fourier de hermita vico estas reela.

Vidu ankaŭ

• Hermita formo
• Hermita operatoro
• Normala matrico

Eksteraj ligiloj

• Hermita matrico kiel elipso Arkivigite je 2007-09-24 per la retarkivo Wayback Machine de Chao-Kuei Hung de universitato Shu-Te, donas pli geometrian eksplikon.
• Hermita matrico je MathPages