3-sfero

En matematiko, 3-sfero estas pli multdimensia analogo de sfero. Ĝi konsistas el punktoj samdistancaj de fiksita centra punkto en 4-dimensia eŭklida spaco. Ordinara sfero (aŭ 2-sfero) estas du dimensia surfaco dum 3-sfero estas objekto kun tri dimensioj, konata kiel 3-sternaĵo.

3-sfero estas parto okazo hipersfero, kiu estas n-sfero por n ≥ 3.

Difino

En karteziaj koordinatoj, 3-sfero kun centro (C₀, C₁, C₂, C₃) kaj radiuso r estas la aro de ĉiuj punktoj (x₀, x₁, x₂, x₃) en R⁴ tiaj ke

${\displaystyle \sum _{i=0}^{3}(x_{i}-C_{i})^{2}=(x_{0}-C_{0})^{2}+(x_{1}-C_{1})^{2}+(x_{2}-C_{2})^{2}+(x_{3}-C_{3})^{2}=r^{2}.}$

La 3-sfero centrita je la fonto de koordinatoj kun radiuso 1 estas nomita la unuobla 3-sfero kaj estas kutime skribata kiel S³:

${\displaystyle S^{3}=\left\{(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{4}:x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\right\}.}$

Propraĵoj

Rudimentaj propraĵoj

La 3-dimensia volumeno (aŭ hiperareo) de 3-sfero de radiuso r estas

${\displaystyle 2\pi ^{2}r^{3}\,}$

kaj la 4-dimensia hipervolumeno (la volumeno de la 4-dimensia regiono barita per la 3-sfero) estas

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\pi ^{2}r^{4}.}$

Ĉiu ne-malplena komunaĵo de 3-sfero kun tri-dimensia hiperebeno estas 2-sfero (se ne la hiperebeno estas tangento al la 3-sfero, en ĉi tiu okazo la komunaĵo estas sola punkto). Se 3-sfero moviĝas tra donita tri-dimensia hiperebeno, la komunaĵo startas kiel punkto, poste iĝas kreskantan 2-sferon kiu atingas sian maksimuma amplekso kiam la hiperebeno sekcas ĝuste tra la ekvatoro de la 3-sfero. Poste la 2-sfero malpligrandiĝas denove al sola punkto kiam la 3-sfero lasas la hiperebenon.

Topologiaj propraĵoj

3-sfero estas kompakta, koneksa, 3-dimensia sternaĵo sen rando. Ĝi estas ankaŭ simple-koneksa. Ĉi tio signifas ke ĉiu ciklo, aŭ cirkla vojo, sur la 3-sfero povas esti kontinue malpligrandigita al punkto ne lasante la 3-sferon. La konjekto de Poincaré proponas ke la 3-sfero estas la nura tri-dimensia sternaĵo kun ĉi tiuj propraĵoj (kun precizo de homeomorfio).

La 3-sfero estas homeomorfa al la unu-punkta kompaktigo de R³. Ĝenerale, ĉiu topologia spaco kiu estas homeomorfa al la 3-sfero estas nomata kiel topologia 3-sfero.

Geometriaj propraĵoj

La 3-sfero estas nature glata sternaĵo, fakte, fermita enigita substernaĵo de R⁴. La eŭklida metriko sur R⁴ donas metriko sur la 3-sfero donante al ĝi la strukturon de rimana sternaĵo. Kiel kun ĉiuj sferoj, la 3-sfero havas konstanta pozitiva sekcian kurbecon egalan al 1/r² kie r estas la radiuso.

Koordinatoj sur la 3-sfero

La kvar eŭklida koordinatoj por S³ estas superfluaj ĉar ili estas kun rezervo pro la kondiĉo ke ${\displaystyle {x_{0}}^{2}+{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+{x_{3}}^{2}=1}$. Ĉar ĝi estas 3-dimensia sternaĵo oni devus kapabli parametrigi la 3-sferon S³ per tri koordinatoj, simile al kiel oni povas parametrigi la 2-sferon uzanta du koordinatojn (latitudo kaj longitudo).

Hipersferaj koordinatoj

Hipersferaj koordinatoj estas analogio al la kutimaj sferaj koordinatoj sur S². La koordinatoj estas (ψ, θ, φ) kaj

${\displaystyle x_{0}=\cos \psi \,}$

${\displaystyle x_{1}=\cos \phi \,\sin \theta \,\sin \psi }$

${\displaystyle x_{2}=\sin \phi \,\sin \theta \,\sin \psi }$

${\displaystyle x_{3}=\cos \theta \,\sin \psi }$

kie ψ kaj θ estas en limigoj ekde 0 al π, kaj φ estas en limigoj ekde 0 al 2π. Notu, ke por ĉiu fiksita valoro de ψ, θ kaj φ parametrigas 2-sferon de radiuso sin(ψ), krom okazoj kiam ψ egalas al 0 aŭ π, en ĉi tiu okazo ili priskribi punkton.

Vidu ankaŭ

• Hipersfero
• 1-sfero, 2-sfero
• 4-hiperkubo
• 4-hiperpluredro
• Simplaĵo
• Sfero de Poincaré

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, 3-srefo en MathWorld. Noto: Ĉi tiu artikolo uzas la alternan sistemon de nomado por sferoj en kiu sfero en n-dimensia spaco estas nomata kiel n-sfero.