Ĉi tiu artikolo bezonas atenton kaj kontroladon de fakulo pri la temo, ĉar ĝi povas enhavi sencajn erarojn aŭ malĝustaĵojn, kiuj ne konformas al bona kvalitnivelo.
Ankaŭ la kunaĵo de ĉiu kolekto de aroj en T estas en T.
Ankaŭ la komunaĵo de ĉiu finia kolekto de aroj en T estas en T.
La kolekto T estas nomata kiel topologio sur X. La eroj de X estas kutime nomataj kiel punktoj, kvankam ili povas esti iuj matematikaj objektoj. Topologia spaco en kiu la punktoj estas funkcioj estas nomata kiel funkcia spaco. La aroj en T estas la malfermitaj aroj, kaj iliaj komplementoj en X estas fermitaj aroj. Ankaŭ, aro povas esti nek fermita nek malfermita; ankaŭ, aro povas esti samtempe fermita kaj malfermita (fermita-malfermita aro).
Ekzemploj
Kvar ekzemploj de topologioj kaj du ekzemploj de tio kio ne estas topologio sur la tri-era aro {1, 2, 3}. La suba maldekstra ekzemplo ne estas topologio ĉar la kunaĵo {2, 3} de {2} kaj {3} forestas; la suba dekstra ekzemplo ne estas topologio ĉar la komunaĵo {2} de {1, 2} kaj {2, 3} estas forestas.
X = {1, 2, 3, 4} kaj kolekto T = {{}, {1, 2, 3, 4}} de du subaroj de X formas maldiskretan topologion.
X = {1, 2, 3, 4} kaj kolekto T = {{}, {2}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}} de ses subaroj de X formas la alian topologion.
X = Z, la aro de entjeroj kaj kolekto T egala al ĉiuj finiaj subaroj de la entjeroj plus Z mem ne estas topologio. Ekzemple, la kunaĵo super ĉiuj finiaj aroj ne enhavantaj nulon estas malfinia kaj ne egalas al Z, kaj tiel ne estas en T, sed ĝi devus esti en T laŭ la 2-a aksiomo.
Ekvivalentaj difinoj
Estas multaj la aliaj ekvivalentaj manieroj difini topologian spacon (karakterigadoj de kategorio de topologiaj spacoj). En aliaj vortoj, ĉiu el jenaj difinoj difinas kategorion ekvivalentan al la kategorio de topologiaj spacoj kiel estas pli supre donite.
Per la demorganaj leĝoj, la aksiomaj difinantaj malfermitajn arojn pli supre iĝas aksiomojn difinantajn fermitajn arojn:
La malplena aro kaj X estas fermitaj.
La komunaĵo de ĉiu kolekto de fermitaj aroj estas ankaŭ fermita.
La kunaĵo de ĉiu paro de fermitaj aroj estas ankaŭ fermita.
Uzante ĉi tiujn aksiomojn, alia maniero difini topologian spacon estas kiel aro X kaj ankaŭ kolekto T de subaroj de X kontentigantaj jenajn aksiomojn:
La malplena aro kaj X estas en T.
Ankaŭ la komunaĵo de ĉiu kolekto de aroj en T estas en T.
Ankaŭ la kunaĵo de ĉiu paro de aroj en T estas en T.
Sub ĉi tiu difino, la aroj en la topologio T estas la fermitaj aroj, kaj iliaj komplementoj en X estas la malfermitaj aroj.
Najbaraĵo de punkto x estas ĉiu aro kiu enhavas malfermita aro enhavantan x. La najbaraĵa sistemo je x konsistas de ĉiuj najbaraĵoj de x. Topologio povas esti difinita per aro de aksiomoj koncernantaj ĉiujn najbaraĵajn sistemojn.
Reto estas ĝeneraligo de la koncepto de vico. Topologio estas plene difinita se por ĉiu reto en X estas donita aro de ĝiaj akumuliĝaj punktoj.
Kontinueco de funkcioj
Funkcio inter topologiaj spacoj estas kontinua se la inversa bildo de ĉiu malfermita aro estas malfermita. Ĉi tio pavas esti komprenita kiel postulo de foresto de rompoj aŭ apartigoj en la funkcio. Anstataŭigi nocion "inversa bildo" per (ne inversa) "bildo" ĉi tie ne eblas, la kontraŭekzemplo estas konduto de funkcio ĉirkaŭ ekstremumo; ekzemple por funkcio f(x)=x2, bildo de malfermita aro (-1, 1) estas aro [0, 1) kiu ne estas malfermita; ĉi tiu ekzemplo uzas la norman topologion sur R, vidu sube.
Estas multaj manieroj difini topologion sur la aro de reelaj nombrojR. La norma topologio sur R estas generita per la malfermitaj intervaloj. La aro de ĉiuj malfermitaj intervaloj formas bazon por la topologio, kun signifo ke ĉiu malfermita aro estas kunaĵo de iu kolekto de aroj de la bazo. Ĉi tio signifas ke aro estas malfermita se tie ekzistas malfermita intervalo de ne nula radiuso ĉirkaŭ ĉiu punkto en la aro. Pli ĝenerale, al la eŭklidaj spacojRn povas esti donita topologio. En la kutima topologio sur Rn la bazaj malfermitaj aroj estas la malfermitaj pilkoj. Simile, C kaj Cn havas norma topologion en kiu la bazaj malfermitaj aroj estas malfermitaj pilkoj.
Al ĉiu metrika spaco povas esti donita metrika topologio, en kiu la bazaj malfermitaj aroj estas la malfermitaj pilkoj difinis per la metriko. Ĉi tio estas la norma topologio sur ĉiu normigita vektora spaco. Sur finidimensia vektora spaco ĉi tiu topologio estas la sama por ĉiuj normoj.
Ĉiu sternaĵo havas naturan topologion pro tio ke loke ĝi estas la sama kiel eŭklida spaco. Simile, ĉiu simplaĵo kaj ĉiu simpleca komplekso heredas naturan topologion de Rn.
Spaco de Sierpiński estas la plej simpla ne-bagatela, ne-diskreta topologia spaco.
Ekzistas multaj topologioj sur ĉiu donita finia aro. Ĉi tiaj spacoj estas finiaj topologiaj spacoj. Finiaj spacoj estas ofte uzataj por provizi ekzemplojn aŭ kontraŭekzemplojn al konjektoj pri topologiaj spacoj ĝenerale.
Al ĉiu malfinia aro povas esti donita la kune finia topologio en kiu la malfermitaj aroj estas la malplena aro kaj la aroj kies komplementoj estas finia. Ĉi tiu estas la plej malgranda T1 topologio sur ĉiu malfinia aro.
Al nekalkulebla aro povas esti donita la kunkalkulebla topologio, en kiu aro estas malfermita se ĝi estas malplena aŭ se ĝia komplemento estas kalkulebla. Ĉi tiu topologio servas kiel utila kontraŭekzemplo en multaj situacioj.
Al la reela linio povas ankaŭ esti donita la suba limesa topologio. En ĝi la bazaj malfermitaj aroj estas la duon-malfermitaj intervaloj[a, b). Ĉi tiu topologio sur R estas severe pli fajna ol la eŭklida topologio difinis pli supre; vico konverĝas al punkto en ĉi tiu topologio se kaj nur se ĝi konverĝas de pli supre en la eŭklida topologio. Ĉi tiu ekzemplo montras ke aro povas havi multajn malsamajn topologiojn.
Se Γ estas numero, tiam al aro Γ = [0, Γ) povas esti donita la orda topologio generita per la intervaloj (a, b), [0, b) kaj (a, Γ) kie a kaj b estas eroj de Γ.
Topologiaj konstruoj
Al ĉiu subaro de topologia spaco povas esti donita la subspaca topologio en kiu la malfermitaj aroj estas la komunaĵoj de la malfermitaj aroj de la pli granda spaco kun la subaro. Por ĉiu indeksita familio de topologiaj spacoj, al ilia kartezia produto povas esti donita la produta topologio, kiu estas generita per la inversaj bildoj de malfermitaj aroj de la faktoroj sub la projekciaj bildigoj. Ekzemple, en finiaj produtoj, bazo por la produta topologio konsistas el ĉiuj produtoj de malfermitaj aroj. Por malfiniaj produtoj, estas la aldona bezono ke ĉe baza malfermita aro, ĉiuj krom finie multaj el ĝiaj projekcioj estas la tuta spaco.
Kvocienta spaco estas difinita kiel sekvas: se X estas topologia spaco kaj Y estas aro, kaj se f : X → Y estas surĵeto (funkcio), tiam la kvocienta topologio sur Y estas la kolekto de subaroj de Y kiuj havas malfermitajn inversajn bildojn sub f. En aliaj vortoj, la kvocienta topologio estas la plej fajna topologio sur Y por kiu f estas kontinua. Komuna ekzemplo de kvocienta topologio estas kiam ekvivalentrilato estas difinita sur la topologia spaco X. La mapo f estas tiam la natura projekcio sur la aro de ekvivalentklasoj.
Klasifiko de topologiaj spacoj
Topologiaj spacoj povas esti larĝe klasifikita, supren ĝis homeomorfio, per iliaj topologiaj propraĵoj. Topologia propraĵo estas propraĵo de spaco kiu estas invarianta sub homeomorfioj. Por pruvi ke du spacoj estas ne homeomorfa ĝi sufiĉas trovi topologian propraĵon kiu estas ne komunigita per ili. Ekzemploj de tiaj propraĵoj estas konekteco, kompakteco, kaj diversaj apartigaj aksiomoj.
Rilatantaj spacoj
Jenaj spacoj kaj algebroj estas pli specialaj aŭ pli ĝeneralaj ol la topologiaj spacoj diskutitaj pli supre.
Apudeca spaco provizi nocio de proksimeco de du aroj.
