Στη γεωμετρία, το πρόβλημα του δαχτυλιδιού χαρτοπετσέτας περιλαμβάνει την εύρεση του όγκου μιας «λωρίδας» καθορισμένου ύψους γύρω από μια σφαίρα, δηλαδή του τμήματος που παραμένει μετά τη διάνοιξη μιας οπής σε σχήμα κυκλικού κυλίνδρου μέσω του κέντρου της σφαίρας. Θα δείξουμε ότι αυτός ο όγκος δεν εξαρτάται από την ακτίνα της αρχικής σφαίρας, αλλά μόνο από το ύψος της λωρίδας που προκύπτει.
Το πρόβλημα ονομάζεται έτσι επειδή μετά την αφαίρεση ενός κυλίνδρου από τη σφαίρα, η λωρίδα που απομένει μοιάζει με το σχήμα ενός δαχτυλιδιού χαρτοπετσέτας .
Ας υποθέσουμε ότι ο άξονας ενός κυκλικού κυλίνδρου διέρχεται από το κέντρο μιας σφαίρας ακτίνας R {\displaystyle R} και έστω h {\displaystyle h} το ύψος (που ορίζεται ως η απόσταση παράλληλη προς τον άξονα) του τμήματος του κυλίνδρου που βρίσκεται μέσα στη σφαίρα. Η «λωρίδα» είναι το τμήμα της σφαίρας που βρίσκεται έξω από τον κύλινδρο. Ο όγκος αυτής της λωρίδας εξαρτάται από το h {\displaystyle h} αλλά όχι από το R {\displaystyle R} : V = π h 3 6 . {\displaystyle V={\frac {\pi h^{3}}{6}}.} Όσο η ακτίνα R {\displaystyle R} της σφαίρας συρρικνώνεται, η διάμετρος του κυλίνδρου πρέπει επίσης να συρρικνωθεί ώστε το h {\displaystyle h} να παραμείνει σταθερό. Έτσι, η λωρίδα γίνεται πιο χοντρή και αυτό θα αυξήσει τον όγκο της. Αλλά γίνεται επίσης μικρότερη σε περιφέρεια, και αυτό θα μειώσει τον όγκο της. Τα δύο αυτά φαινόμενα αλληλοεξουδετερώνονται και συνεπώς ο όγκος της λωρίδας παραμένει σταθερός. Στην ακραία περίπτωση της μικρότερης δυνατής σφαίρας, ο κύλινδρος εξαφανίζεται (η ακτίνα του γίνεται μηδέν) και το ύψος h {\displaystyle h} ισούται με τη διάμετρο της σφαίρας. Σε αυτήν την περίπτωση, ο όγκος της λωρίδας ισούται με τον όγκο ολόκληρης της σφαίρας, το οποίο ταιριάζει με τον τύπο που δίνεται παραπάνω.
Μια πρώιμη μελέτη αυτού του προβλήματος γράφτηκε από τον Ιάπωνα μαθηματικό του 17ου αιώνα Σέκι Τακακάζου. Σύμφωνα με τους Smith & Mikami (1914), ο Σέκι ονόμασε αυτό το στερεό δακτύλιο τόξου, ή στα ιαπωνικά kokan ή kokwan.
Ας υποθέσουμε ότι η ακτίνα της σφαίρας είναι R {\displaystyle R} και το μήκος του κυλίνδρου (ή του τούνελ) είναι h {\displaystyle h} .
Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, η ακτίνα του κυλίνδρου είναι
R 2 − ( h 2 ) 2 , ( 1 ) {\displaystyle {\sqrt {R^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}}},\qquad \qquad (1)} και η ακτίνα της οριζόντιας διατομής της σφαίρας σε ύψος y {\displaystyle y} πάνω από την διάμετρό της είναι R 2 − y 2 . ( 2 ) {\displaystyle {\sqrt {R^{2}-y^{2}}}.\qquad \qquad (2)} Η διατομή της λωρίδας με το επίπεδο σε ύψος y {\displaystyle y} είναι η περιοχή μέσα στον μεγαλύτερο κύκλο με ακτίνα που δίνεται από την σχέση (2) και έξω από τον μικρότερο κύκλο με ακτίνα που δίνεται από την σχέση (1). Το εμβαδόν της διατομής είναι επομένως το εμβαδόν του μεγαλύτερου κύκλου μείον το εμβαδόν του μικρότερου κύκλου: π ( μεγάλη ακτίνα ) 2 − π ( μικρή ακτίνα ) 2 = π ( R 2 − y 2 ) 2 − π ( R 2 − ( h 2 ) 2 ) 2 = π ( ( h 2 ) 2 − y 2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \pi ({\text{μεγάλη ακτίνα}})^{2}-\pi ({\text{μικρή ακτίνα}})^{2}\\&=\pi \left({\sqrt {R^{2}-y^{2}}}\right)^{2}-\pi \left({\sqrt {R^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}\,{}}}\,\right)^{2}=\pi \left(\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}-y^{2}\right).\end{aligned}}} Η ακτίνα R δεν εμφανίζεται στην τελευταία ποσότητα. Επομένως, το εμβαδόν της οριζόντιας διατομής σε ύψος y {\displaystyle y} δεν εξαρτάται από το R {\displaystyle R} , εφόσον y ≤ h 2 ≤ R {\displaystyle y\leq {\tfrac {h}{2}}\leq R} . Ο όγκος της λωρίδας είναι
ο οποίος επίσης δεν εξαρτάται από το R {\displaystyle R} .
Αυτή είναι μια εφαρμογή της αρχής του Καβαλιέρι: όγκοι με αντίστοιχες διατομές ίσου μεγέθους είναι ίσοι. Πράγματι, το εμβαδόν της διατομής είναι το ίδιο με αυτό της αντίστοιχης διατομής μιας σφαίρας ακτίνας h / 2 {\displaystyle h/2} , που έχει όγκο 4 3 π ( h 2 ) 3 = π h 3 6 . {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi \left({\frac {h}{2}}\right)^{3}={\frac {\pi h^{3}}{6}}.}