Σφαίρα ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που απέχουν σταθερή απόσταση ρ από ένα σημείο Ο στον τρισδιάστατο χώρο. Το σημείο Ο ονομάζεται και κέντρο της σφαίρας και η απόσταση ρ ακτίνα. Ως διάμετρος της σφαίρας ορίζεται το διπλάσιο της ακτίνας της και είναι η μέγιστη δυνατή απόσταση δύο σημείων της. Η σφαίρα είναι μια δισδιάστατη κλειστή επιφάνεια στον τρισδιάστατο χώρο. Μια σφαιρική επιφάνεια έχει καμπυλότητα τέτοια που δεν επιτρέπει την ύπαρξη επίπεδου αναπτύγματος, όπως απέδειξε ο Αρχιμήδης[εκκρεμεί παραπομπή].
Οι σχετικές θέσεις σφαίρας-επιπέδου είναι αντίστοιχες με τις σχετικές θέσεις κύκλου-ευθείας. Έστω δ η απόσταση κέντρου της σφαίρας και του επιπέδου και ρ η ακτίνα της σφαίρας:
απόδειξη:
Η μέγιστη δυνατή τιμή ενός τέτοιου κύκλου είναι η ακτίνα της σφαίρας, (αποδεικνύεται με εφαρμογή της τριγωνικής ανισότητας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο). Αυτός ο κύκλος ονομάζεται μέγιστος κύκλος και είναι η τομή της σφαίρας με επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο της.
Σφαίρα ακτίνας ρ περιγράφεται στο ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων κέντρου Ο (χ,ψ,ζ) με τον τύπο:
( x − χ ) 2 + ( y − ψ ) 2 + ( z − ζ ) 2 = ρ 2 {\displaystyle (x-\chi )^{2}+(y-\psi )^{2}+(z-\zeta )^{2}=\rho ^{2}}
Το οποίο σημαίνει ότι η απόσταση τυχαίου σημείου από το κέντρο της σφαίρας ισούται με ρ.
Σε σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων η έννοια της σφαίρας εμπεριέχεται στο σύστημα αναφοράς, αν η σφαίρα έχει ως κέντρο την αρχή του συστήματος η εξίσωσή της είναι: r = ρ {\displaystyle r=\rho }
Σε διανυσματική μορφή η εξίσωση της σφαίρας είναι: | X − K | = ρ {\displaystyle |X-K|=\rho } , όπου Χ τυχαίο σημείο και Κ το κέντρο της σφαίρας.
Η σφαίρα στο παραμετρικό σύστημα συντεταγμένων
X ( u , v ) = R ∗ cos ( u ) ∗ cos ( v ) {\displaystyle X(u,v)=R*\cos(u)*\cos(v)} Y ( u , v ) = R ∗ sin ( u ) ∗ cos ( v ) {\displaystyle Y(u,v)=R*\sin(u)*\cos(v)} Z ( u , v ) = R ∗ sin ( v ) {\displaystyle Z(u,v)=R*\sin(v)} -π≤ u {\displaystyle u} ≤π (-π/2)≤ v {\displaystyle v} ≤(π/2) Η ακτίνα της σφαίρας είναι R {\displaystyle R}
Παραπομπή:*commons:file:parametric system of coordinates.pdf
Με βάση τη σφαίρα αναπτύχθηκε μια απόλυτη γεωμετρία σε αντιδιαστολή με την επίπεδη. Αρχικά παρουσίαζε εφαρμογές στη ναυσιπλοΐα και την αστρονομία, λόγω της σφαιρικότητας της γης, αλλά αργότερα μελετήθηκε περαιτέρω, γιατί χρειαζόταν στη θεωρητική φυσική και συγκεκριμένα της κοσμολογίας μόλις ανακαλύφθηκε η καμπύλωση του χωροχρόνου. Στη σφαιρική γεωμετρία ορίζονται ως:
Τα υπόλοιπα σχήματα ορίζονται με βάση την επιπεδομετρία με εξαίρεση το αξίωμα της παραλληλίας, καθώς στη σφαίρα δεν υπάρχουν μέγιστοι κύκλοι χωρίς κοινά σημεία (άρα από σημείο εκτός ευθείας δε διέρχεται καμία παράλληλος, ενώ το άθροισμα των τριγώνων μπορεί να ισούται να είναι μικρότερο ή μεγαλύτερο από 180°). Στη σφαίρα χρησιμοποιείται το πολικό σύστημα συντεταγμένων, όπως στο επίπεδο χρησιμοποιείται το ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων, ενώ το μήκος στη σφαιρομετρία μετράται σε ακτίνια ή μοίρες, δηλαδή μονάδες γωνίας.
Στη φυσική και μηχανική είναι χρήσιμο και ένα άλλο μέγεθος που προκύπτει από τη σφαίρα, η στερεά γωνία. Έστω μια κλειστή καμπύλη ορισμένη πάνω στη σφαίρα. Έστω το εμβαδόν του σφαιρικού τμήματος που ορίζει Ε (αν η στερεά γωνία είναι κυρτή θεωρούμε το κυρτό τμήμα, αν είναι κοίλη το κοίλο), και η ακτίνα της σφαίρας ρ. Τότε το μέτρο της στερεάς γωνίας είναι:
α = E ρ 2 {\displaystyle \alpha ={\frac {E}{\rho ^{2}}}}
Η στερεά γωνία μετράται σε στερεοακτίνια (steradian).
Ο όγκος του εσωτερικού της σφαίρας ισούται με 4 3 π ρ 3 {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi \rho ^{3}} , ενώ το εμβαδόν της επιφάνειάς της με 4 π ρ 2 {\displaystyle 4\pi \rho ^{2}} . Το εμβαδόν της σφαίρας ισούται με το εμβαδόν της επιφάνειας κυκλικού κυλίνδρου διαμέτρου και ύψους ίσου με τη διάμετρο της σφαίρας, αν εξαιρεθούν οι βάσεις, όπως απέδειξε ο Αρχιμήδης πάνω από 2200 χρόνια πριν χωρίς τη χρήση του λογισμού.
Η σφαίρα έχει άπειρους άξονες συμμετρίες και επίπεδα συμμετρίας, αυτά που διέρχονται από το κέντρο της, ενώ σημείο συμμετρίας είναι το ίδιο το κέντρο της.
Η σφαίρα μπορεί να θεωρηθεί ως σχήμα εκ περιστροφής ενός κύκλου ή ημικυκλίου ή γενικά τόξου μεγαλύτερου του π γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο του (και τα άκρα του στην περίπτωση του ημικυκλίου).
Αν αντί για κύκλος χρησιμοποιηθεί έλλειψη κατά μήκος του μεγάλου άξονά της θα προκύψει ένα ωοειδές σχήμα, μια επιμηκυμένη σφαίρα. Κατά μήκος του μικρού άξονα θα προκύψει μια πεπλατυσμένη σφαίρα, που είναι το σχήμα της γης.