Τέταρτο πρόβλημα του Χίλμπερτ

Στα μαθηματικά, το τέταρτο πρόβλημα του Χίλμπερτ στον κατάλογο των προβλημάτων του Χίλμπερτ του 1900 είναι ένα θεμελιώδες ερώτημα στη γεωμετρία. Σε μια δήλωση που προέκυψε από το πρωτότυπο, ήταν να βρεθούν -μέχρι έναν ισομορφισμό- όλες οι γεωμετρίες που έχουν ένα αξιωματικό σύστημα της κλασικής γεωμετρίας (ευκλείδεια, υπερβολική και ελλειπτική), με τα αξιώματα της σύμπτωσης που περιλαμβάνουν την έννοια της γωνίας να καταργούνται και να προστίθεται η `Τριγωνική ανισότητα`, που θεωρείται αξίωμα.

Αν υποθέσουμε επιπλέον το αξίωμα της συνέχειας, τότε, στην περίπτωση του ευκλείδειου επιπέδου, καταλήγουμε στο πρόβλημα που έθεσε ο Ζαν Γκαστόν Νταρμπού: "Να προσδιοριστούν όλα τα προβλήματα του λογισμού της μεταβολής στο επίπεδο, των οποίων οι λύσεις είναι όλες οι επίπεδες ευθείες"^[1] .

Υπάρχουν διάφορες ερμηνείες της αρχικής δήλωσης του Ντέιβιντ Χίλμπερτ. Παρά ταύτα, αναζητήθηκε λύση, με τον Γερμανό μαθηματικό Γκέοργκ Χάμελ να είναι ο πρώτος που συνέβαλε στη λύση του τέταρτου προβλήματος του Χίλμπερτ^[2] .

Μια αναγνωρισμένη λύση δόθηκε από τον Σοβιετικό μαθηματικό Αλεξέι Πογκορέλοφ το 1973.^[3][4] Το 1976, ο Αρμένιος μαθηματικός Ρουμπέν Β. Αμπαρτζουμιάν πρότεινε μια άλλη απόδειξη του τέταρτου προβλήματος του Χίλμπερτ^[5].

Αρχική δήλωση

Ο Χίλμπερτ συζητά την ύπαρξη μη Ευκλείδειας γεωμετρίας και μη Αρχιμήδειας γεωμετρίας^[6]

...μια γεωμετρία στην οποία ισχύουν όλα τα αξιώματα της συνηθισμένης ευκλείδειας γεωμετρίας, και ειδικότερα όλα τα αξιώματα της σύμπτωσης εκτός από αυτό της σύμπτωσης των τριγώνων (ή όλα εκτός από το θεώρημα της ισότητας των γωνιών βάσης στο ισοσκελές τρίγωνο), και στην οποία, εκτός αυτού, η πρόταση ότι σε κάθε τρίγωνο το άθροισμα των δύο πλευρών είναι μεγαλύτερο από την τρίτη θεωρείται ως ιδιαίτερο αξίωμα^[7]

Λόγω της ιδέας ότι μια «ευθεία γραμμή» ορίζεται ως η συντομότερη διαδρομή μεταξύ δύο σημείων, αναφέρει πώς η ισότητα των τριγώνων είναι απαραίτητη για την απόδειξη του Ευκλείδη ότι μια ευθεία γραμμή στο επίπεδο είναι η συντομότερη απόσταση μεταξύ δύο σημείων. Συνοψίζει ως εξής:

Το θεώρημα της ευθείας γραμμής ως της συντομότερης απόστασης μεταξύ δύο σημείων και το ουσιαστικά ισοδύναμο θεώρημα του Ευκλείδη για τις πλευρές ενός τριγώνου, παίζουν σημαντικό ρόλο όχι μόνο στη θεωρία των αριθμών αλλά και στη θεωρία των επιφανειών και στον λογισμό των μεταβολών. Για το λόγο αυτό, και επειδή πιστεύω ότι η ενδελεχής διερεύνηση των προϋποθέσεων ισχύος του θεωρήματος αυτού θα ρίξει νέο φως στην ιδέα της απόστασης, καθώς και σε άλλες στοιχειώδεις ιδέες, π.χ. στην ιδέα του επιπέδου και στη δυνατότητα ορισμού του μέσω της ιδέας της ευθείας γραμμής, η κατασκευή και η συστηματική επεξεργασία των γεωμετριών που είναι εδώ δυνατές μου φαίνεται επιθυμητή^[7].

Επίπεδες μετρήσεις

Θεώρημα του Ντεζάργκ

Αν δύο τρίγωνα βρίσκονται σε ένα επίπεδο έτσι ώστε οι ευθείες που συνδέουν τις αντίστοιχες κορυφές των τριγώνων να συναντώνται σε ένα σημείο, τότε τα τρία σημεία, στα οποία τέμνονται οι προεκτάσεις τριών ζευγών αντίστοιχων πλευρών των τριγώνων, βρίσκονται σε μία ευθεία.

Η αναγκαία προϋπόθεση για την επίλυση του τέταρτου προβλήματος του Χίλμπερτ είναι η απαίτηση ότι ένας μετρικός χώρος που ικανοποιεί τα αξιώματα αυτού του προβλήματος πρέπει να είναι "Ντεζάργκιανός", δηλαδή,:

• Αν ο χώρος έχει διάσταση 2, τότε θα πρέπει να ισχύει το θεώρημα του Ντεζάργ και το αντίστροφό του,
• Αν ο χώρος έχει διάσταση μεγαλύτερη από 2, τότε οποιαδήποτε τρία σημεία θα πρέπει να βρίσκονται σε ένα επίπεδο.

Για τους "Ντεζάργκιανούς" χώρους ο Γκέοργκ Χάμελ απέδειξε ότι κάθε λύση του τέταρτου προβλήματος του Χίλμπερτ μπορεί να αναπαρασταθεί σε έναν πραγματικό προβολικό χώρο ${\displaystyle RP^{n}}$ ή σε ένα κυρτό πεδίο του ${\displaystyle RP^{n}}$, αν προσδιορίσει κανείς τη σύμπτωση των τμημάτων με την ισότητα των μηκών τους σε μια ειδική μετρική για την οποία οι γραμμές του προβολικού χώρου είναι γεωδαισιακές.

Οι μετρικές αυτού του τύπου ονομάζονται επίπεδες ή προβολικές.

Έτσι, η λύση του τέταρτου προβλήματος του Χίλμπερτ ανάγεται στη λύση του προβλήματος του εποικοδομητικού προσδιορισμού όλων των πλήρων επίπεδων μετρικών.

Ο Χάμελ έλυσε αυτό το πρόβλημα υπό την προϋπόθεση της υψηλής κανονικότητας της μετρικής^[2]. Ωστόσο, όπως δείχνουν απλά παραδείγματα, η κλάση των κανονικών επίπεδων μετρικών είναι μικρότερη από την κλάση όλων των επίπεδων μετρικών. Τα αξιώματα των γεωμετριών που εξετάζονται συνεπάγονται μόνο μια συνέχεια των μετρικών. Επομένως, για να λυθεί πλήρως το τέταρτο πρόβλημα του Χίλμπερτ είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν εποικοδομητικά όλες οι συνεχείς επίπεδες μετρικές.

Προέλευση του τέταρτου προβλήματος του Χίλμπερτ

Μοντέλο Κέιλι-Κλάιν της γεωμετρίας Λομπατσέφσκι

Πριν από το 1900, ήταν γνωστό το μοντέλο Κέιλι-Κλάιν της γεωμετρίας Λομπατσέφσκι στον μοναδιαίο δίσκο, σύμφωνα με το οποίο οι γεωδαισιακές γραμμές είναι χορδές του δίσκου και η απόσταση μεταξύ των σημείων ορίζεται ως λογάριθμος του σταυροειδούς λόγου ενός τετραπλού. Για τις δισδιάστατες μετρικές του Ριμάν, ο Ευγένιο Μπελτράμι (Eugenio Beltrami, 1835-1900) απέδειξε ότι οι επίπεδες μετρικές είναι οι μετρικές σταθερής καμπυλότητας^[8].

Για τις Μετρικές του Ρίμαν^[9] η δήλωση αυτή αποδείχθηκε από τον Ε. Καρτάν το 1930.

Το 1890, για την επίλυση προβλημάτων σχετικά με τη θεωρία των αριθμών, ο Χέρμαν Μινκόφσκι εισήγαγε μια έννοια του χώρου που σήμερα αποκαλείται πεπερασμένης διάστασης χώρος Μπάναχ^[10].

Χώρος Μινκόφσκι

Χώρος Μινκόφσκι

Κύριο άρθρο: χώρος Μινκόφσκι

Έστω ${\displaystyle F_{0}\subset \mathbb {E} ^{n}}$μια συμπαγής κυρτή υπερεπιφάνεια σε έναν ευκλείδειο χώρο που ορίζεται από την ακόλουθη σχέση

${\displaystyle F_{0}=\{y\in E^{n}:F(y)=1\},}$

όπου η συνάρτηση ${\displaystyle F=F(y)}$ ικανοποιεί τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

1. ${\displaystyle F(y)\geqslant 0,\qquad F(y)=0\Leftrightarrow y=0;}$
2. ${\displaystyle F(\lambda y)=\lambda F(y),\qquad \lambda \geqslant 0;}$
3. ${\displaystyle F(y)\in C^{k}(E^{n}\setminus \{0\}),\qquad k\geqslant 3;}$
4. και η μορφή ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}F^{2}}{\partial y^{i}\,\partial y^{j}}}\xi ^{i}\xi ^{j}>0}$ είναι θετικώς ορισμένη.

Το μήκος του διανύσματος OA ορίζεται ως εξής:

${\displaystyle \|OA\|_{M}={\frac {\|OA\|_{\mathbb {E} }}{\|OL\|_{\mathbb {E} }}}.}$

Ένας χώρος με αυτή τη μετρική ονομάζεται χώρος Μινκόφσκι.

Η υπερεπιφάνεια ${\displaystyle F_{0}}$ είναι κυρτή και μπορεί να είναι ακανόνιστη. Η μετρική που ορίζεται είναι επίπεδη.

Χώροι Φίνσλερ

Έστω M και ${\displaystyle TM=\{(x,y)|x\in M,y\in T_{x}M\}}$ μια ομαλή πεπερασμένης διάστασης πολλαπλότητα και η εφαπτομενική δέσμη της, αντίστοιχα. Η συνάρτηση ${\displaystyle F(x,y)\colon TM\rightarrow [0,+\infty )}$ ονομάζεται μετρική Φίνσλερ αν

1. ${\displaystyle F(x,y)\in C^{k}(TM\setminus \{0\}),\qquad k\geqslant 3}$;
2. For any point ${\displaystyle x\in M}$ ο περιορισμός του ${\displaystyle F(x,y)}$ on ${\displaystyle T_{x}M}$ είναι η νόρμα Μινκόφσκι.

${\displaystyle (M,F)}$ είναι χώρος Φίνσλερ.

Γεωμετρία του Χίλμπερτ

Μετρική του Χίλμπερτ

Έστω ${\displaystyle U\subset (\mathbb {E} ^{n+1},\|\cdot \|_{\mathbb {E} })}$ ένα περιορισμένο ανοικτό κυρτό σύνολο με το σύνορο κλάσης C² και θετικές κανονικές καμπυλότητες. Ομοίως με τον χώρο Λομπατσέφσκι, η υπερεπιφάνεια ${\displaystyle \partial U}$ ονομάζεται απόλυτη της γεωμετρίας του Χίλμπερτ.^[11]

Η απόσταση Χίλμπερτ (βλέπε σχήμα) ορίζεται ως εξής

${\displaystyle d_{U}(p,q)={\frac {1}{2}}\ln {\frac {\|q-q_{1}\|_{E}}{\|q-p_{1}\|_{E}}}\times {\frac {\|p-p_{1}\|_{E}}{\|p-q_{1}\|_{E}}}.}$

Μετρική Χίλμπερτ-Φίνσλερ

Η απόσταση ${\displaystyle d_{U}}$ επάγει τη μετρική Χίλμπερτ-Φίνσλερ. ${\displaystyle F_{U}}$ on U. For any ${\displaystyle x\in U}$ and ${\displaystyle y\in T_{x}U}$ (βλέπε σχήμα), έχουμε

${\displaystyle F_{U}(x,y)={\frac {1}{2}}\|y\|_{\mathbb {E} }\left({\frac {1}{\|x-x_{+}\|_{\mathbb {E} }}}+{\frac {1}{\|x-x_{-}\|_{\mathbb {E} }}}\right).}$

Η μετρική είναι συμμετρική και επίπεδη. Το 1895, ο Χίλμπερτ εισήγαγε αυτή τη μετρική ως γενίκευση της γεωμετρίας Λομπατσέφσκι. Αν η υπερεπιφάνεια ${\displaystyle \partial U}$ είναι ελλειψοειδές, τότε έχουμε τη γεωμετρία Λομπατσέφσκι.

σ-μετρικές

Επαρκής συνθήκη για επίπεδες μετρικές

Ο Γκέοργκ Χάμελ ήταν ο πρώτος που συνέβαλε στη λύση του τέταρτου προβλήματος του Χίλμπερτ^[2]. Απέδειξε την ακόλουθη δήλωση.

Θεώρημα. Μια κανονική μετρική Φίνσλερ ${\displaystyle F(x,y)=F(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})}$ είναι επίπεδη αν και μόνο αν ικανοποιεί τις συνθήκες:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}F^{2}}{\partial x^{i}\,\partial y^{j}}}={\frac {\partial ^{2}F^{2}}{\partial x^{j}\,\partial y^{i}}},\,i,j=1,\ldots ,n.}$

Φόρμουλα Κρόφτον

Ας εξετάσουμε ένα σύνολο όλων των προσανατολισμένων γραμμών σε ένα επίπεδο. Κάθε γραμμή ορίζεται από τις παραμέτρους ${\displaystyle \rho }$ και ${\displaystyle \varphi ,}$ όπου ${\displaystyle \rho }$ είναι μια απόσταση από την αρχή της γραμμής και ${\displaystyle \varphi }$ είναι μια γωνία μεταξύ της γραμμής και του άξονα x. Τότε το σύνολο όλων των προσανατολισμένων ευθειών είναι ομοιομορφικό με έναν κυκλικό κύλινδρο ακτίνας 1 με στοιχείο εμβαδού ${\displaystyle dS=d\rho \,d\varphi }$. Έστω ${\displaystyle \gamma }$ μια ορθοκανονική καμπύλη σε επίπεδο. Τότε το μήκος της ${\displaystyle \gamma }$ είναι

${\displaystyle L={\frac {1}{4}}\iint _{\Omega }n(\rho ,\varphi )\,dp\,d\varphi }$

όπου ${\displaystyle \Omega }$ είναι ένα σύνολο ευθειών που τέμνουν την καμπύλη ${\displaystyle \gamma }$, και ${\displaystyle n(p,\varphi )}$ είναι ο αριθμός των τομών της ευθείας με την ${\displaystyle \gamma }$. Ο Κρόφτον απέδειξε αυτή τη δήλωση το 1870.^[12]

Μια παρόμοια δήλωση ισχύει για έναν προβολικό χώρο.

Μέτρο Μπλασκε-Μπούζεμαν

Το 1966, σε ομιλία του στο Διεθνές Μαθηματικό Συνέδριο της Μόσχας, ο Χέρμπερτ Μπούσεμαν εισήγαγε μια νέα κατηγορία επίπεδων μετρικών. Σε ένα σύνολο γραμμών στο προβολικό επίπεδο ${\displaystyle RP^{2}}$ εισήγαγε ένα πλήρως προσθετικό μη αρνητικό μέτρο ${\displaystyle \sigma }$, το οποίο ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες:

1. ${\displaystyle \sigma (\tau P)=0}$, όπου ${\displaystyle \tau P}$ είναι ένα σύνολο ευθειών που διέρχεται από ένα σημείο P,
2. ${\displaystyle \sigma (\tau X)>0}$, όπου ${\displaystyle \tau X}$ είναι ένα σύνολο ευθειών που διέρχεται από κάποιο σύνολο Χ που περιέχει ένα ευθύγραμμο τμήμα,
3. ${\displaystyle \sigma (RP^{n})}$ είναι πεπερασμένη.

Αν θεωρήσουμε ένα ${\displaystyle \sigma }$-μετρικό σε ένα αυθαίρετο κυρτό πεδίο ${\displaystyle \Omega }$ ενός προβολικού χώρου ${\displaystyle RP^{2}}$, τότε η συνθήκη 3) θα πρέπει να αντικατασταθεί από την ακόλουθη: για κάθε σύνολο H τέτοιο ώστε το H να περιέχεται στο ${\displaystyle \Omega }$ και το κλείσιμο του H να μην τέμνει το όριο του ${\displaystyle \Omega }$, η ανισότητα

${\displaystyle \sigma (\pi H)<\infty }$ ισχύει.^[13]

Χρησιμοποιώντας αυτό το μέτρο, το ${\displaystyle \sigma }$ στο ${\displaystyle RP^{2}}$ ορίζεται ως εξής

${\displaystyle |x,y|=\sigma \left(\tau [x,y]\right),}$

όπου ${\displaystyle \tau [x,y]}$ είναι το σύνολο των ευθειών που τέμνουν το τμήμα ${\displaystyle [x,y]}$.

Η τριγωνική ανισότητα για αυτή τη μετρική προκύπτει από το θεώρημα του Πασχ.

Θεώρημα. Η ${\displaystyle \sigma }$-μετρική στο ${\displaystyle RP^{2}}$ είναι επίπεδη, δηλαδή οι γεωδαισιακές είναι οι ευθείες του προβολικού χώρου.

Αλλά ο Μπούσεμαν απείχε πολύ από την ιδέα ότι η ${\displaystyle \sigma }$-μετρική εξαντλεί όλες τις επίπεδες μετρικές. Έγραψε, 'Η ελευθερία στην επιλογή μιας μετρικής με δεδομένες γεωδαισιακές είναι για τις μη Ριμανιανές μετρικές τόσο μεγάλη που μπορεί να αμφισβητηθεί αν υπάρχει πραγματικά ένας πειστικός χαρακτηρισμός όλων των Ντεζάργκσιαν χώρων.^[13]

Δισδιάστατη περίπτωση

Το θεώρημα του Πογκόρελοφ

Το ακόλουθο θεώρημα αποδείχθηκε από τον Πογκορέλοφ το 1973.^[3][4]

Θεώρημα. Κάθε δισδιάστατη συνεχής πλήρης επίπεδη μετρική είναι μια ${\displaystyle \sigma }$-μετρική.

Έτσι το τέταρτο πρόβλημα του Χίλμπερτ για τη δισδιάστατη περίπτωση λύθηκε πλήρως.

Συνέπεια αυτού είναι ότι μπορεί κανείς να κολλήσει σύνορο με σύνορο δύο αντίγραφα του ίδιου επίπεδου κυρτού σχήματος, με γωνιακή συστροφή μεταξύ τους, και θα λάβει ένα τρισδιάστατο αντικείμενο χωρίς γραμμές πτυχώσεων, με τις δύο όψεις να είναι αναπτύξιμες.

Απεικόνιση του θεωρήματος Πογκορέλοφ

Οι αποδείξεις του Αμπαρτσουμιάν

Το 1976, ο Αμπαρτσουμιάν πρότεινε μια άλλη απόδειξη του τέταρτου προβλήματος του Χίλμπερτ.^[5]

Η απόδειξή του χρησιμοποιεί το γεγονός ότι στη δισδιάστατη περίπτωση ολόκληρο το μέτρο μπορεί να αποκατασταθεί από τις τιμές του στα δίγωνα, και έτσι να οριστεί στα τρίγωνα με τον ίδιο τρόπο που ορίζεται το εμβαδόν ενός τριγώνου στη σφαίρα. Εφόσον ισχύει η Τριγωνική ανισότητα, προκύπτει ότι το μέτρο αυτό είναι θετικό σε μη εκφυλισμένα τρίγωνα και προσδιορίζεται σε όλα τα σύνολα Μπορέλ. Ωστόσο, αυτή η δομή δεν μπορεί να γενικευτεί σε υψηλότερες διαστάσεις λόγω του τρίτου προβλήματος του Χίλμπερτ που λύθηκε από τον Μαξ Ντεν.

Στη δισδιάστατη περίπτωση, τα πολύγωνα με τον ίδιο όγκο είναι συζυγή με το ψαλίδι. Όπως αποδείχθηκε από τον Ντεν αυτό δεν ισχύει για υψηλότερη διάσταση.

Τριδιάστατη περίπτωση

Για την τρισδιάστατη περίπτωση ο Πογκορέλοφ απέδειξε το ακόλουθο θεώρημα.

Θεώρημα. Κάθε τρισδιάστατη κανονική πλήρης επίπεδη μετρική είναι μια ${\displaystyle \sigma }$-μετρική.

Ωστόσο, στην τρισδιάστατη περίπτωση τα ${\displaystyle \sigma }$-μέτρα μπορούν να πάρουν είτε θετικές είτε αρνητικές τιμές. Οι αναγκαίες και ικανές συνθήκες για να είναι επίπεδη η κανονική μετρική που ορίζεται από τη συνάρτηση του συνόλου ${\displaystyle \sigma }$ είναι οι ακόλουθες τρεις συνθήκες:

1. η τιμή ${\displaystyle \sigma }$ σε οποιοδήποτε επίπεδο ισούται με μηδέν,
2. η τιμή ${\displaystyle \sigma }$ σε κάθε κώνο είναι μη αρνητική,
3. η τιμή ${\displaystyle \sigma }$ είναι θετικό αν ο κώνος περιέχει εσωτερικά σημεία.

Επιπλέον, ο Πογκορέλοφ έδειξε ότι κάθε πλήρης συνεχής επίπεδη μετρική στην τρισδιάστατη περίπτωση είναι το όριο των κανονικών ${\displaystyle \sigma }$-μετρικών με ομοιόμορφη σύγκλιση σε κάθε συμπαγή υποπεριοχή του πεδίου της μετρικής. Τις ονόμασε γενικευμένες ${\displaystyle \sigma }$-μετρικές.

Θεώρημα. Στην τρισδιάστατη περίπτωση κάθε πλήρης συνεχής επίπεδη μετρική είναι μια ${\displaystyle \sigma }$-μετρική με γενικευμένη έννοια.

Ο Μπούσεμαν, στην κριτική του στο βιβλίο του Πογκορέλοφ «Το τέταρτο πρόβλημα του Χίλμπερτ» έγραψε: «Στο πνεύμα της εποχής ο Χίλμπερτ περιορίστηκε στο n = 2, 3 και το ίδιο κάνει και ο Πογκορέλοφ. Ωστόσο, αυτό έχει αναμφίβολα παιδαγωγικούς λόγους, επειδή απευθύνεται σε μια ευρεία κατηγορία αναγνωστών. Η πραγματική διαφορά είναι μεταξύ n = 2 και n>2. Η μέθοδος του Πογκορέλοφ λειτουργεί για n>3, αλλά απαιτεί μεγαλύτερες τεχνικές λεπτομέρειες».^[14]

Πολυσδιάστατη περίπτωση

Η πολυδιάστατη περίπτωση του τέταρτου προβλήματος Χίλμπερτ μελετήθηκε από τον Σάμπο.^[15] Το 1986 απέδειξε, όπως έγραψε, το γενικευμένο θεώρημα Πογκορέλοφ.

Θεώρημα. Κάθε n-διάστατος Ντεζαργκέσιανος χώρος της κλάσης ${\displaystyle C^{n+2},n>2}$, παράγεται από την κατασκευή Μπλάσκε-Μπούσεμαν.

Ένα ${\displaystyle \sigma }$-μέτρο που παράγει ένα επίπεδο μέτρο έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

1. το ${\displaystyle \sigma }$-μέτρο των υπερεπιπέδων που διέρχονται από ένα σταθερό σημείο είναι ίσο με μηδέν,
2. το ${\displaystyle \sigma }$-μέτρο του συνόλου των υπερεπιπέδων που τέμνουν δύο τμήματα [x, y], [y, z], όπου τα x, y та z δεν είναι συγγραμμικά, είναι θετικό.

Δόθηκε το παράδειγμα μιας επίπεδης μετρικής που δεν παράγεται από την κατασκευή Μπλάσκε-Μπούσεμαν. Ο Σάμπο περιέγραψε όλες τις συνεχείς επίπεδες μετρικές με όρους γενικευμένων συναρτήσεων.

Τέταρτο πρόβλημα του Χίλμπερτ και κυρτά σώματα

Το τέταρτο πρόβλημα του Χίλμπερτ συνδέεται επίσης στενά με τις ιδιότητες των κυρτών σωμάτων. Ένα κυρτό πολύεδρο καλείται ζωνότοπος αν είναι το άθροισμα των τμημάτων Μινκόφσκι. Ένα κυρτό σώμα που είναι όριο των ζωνοτόπων στη μετρική Μπλάσκε-Μπούσεμαν ονομάζεται ζωνοειδές. Για τα ζονοειδή, η συνάρτηση υποστήριξης παριστάνεται ως εξής

${\displaystyle h(x)=\int _{S^{n-1}}\left|\left\langle x,u\right\rangle \right|\partial \sigma (u),}$

(1)

όπου ${\displaystyle \sigma (u)}$ είναι ένα άρτιο θετικό μέτρο Μπορέλ σε μια σφαίρα${\displaystyle S^{n-1}}$.

Ο χώρος Μινκόφσκι παράγεται από την κατασκευή Μπλάσκε-Μπούσεμαν εάν και μόνο εάν η συνάρτηση υποστήριξης του ενδεικτικού πίνακα έχει τη μορφή (1), όπου ${\displaystyle \sigma (u)}$ είναι άρτιο και όχι απαραίτητα θετικού μέτρου Μπορέλ.^[16] Τα σώματα που οριοθετούνται από τέτοιες υπερεπιφάνειες ονομάζονται γενικευμένα ζονοειδή..

Το οκτάεδρο ${\displaystyle |x_{1}|+|x_{2}|+|x_{3}|\leq 1}$ στον Ευκλείδειο χώρο ${\displaystyle E^{3}}$ δεν είναι ένα γενικευμένο ζονοειδές. Από την παραπάνω δήλωση προκύπτει ότι η επίπεδη μετρική του χώρου Μινκόφσκι με τη νόρμα ${\displaystyle \|x\|=\max\{|x_{1}|,|x_{2}|,|x_{3}|\}}$ δεν παράγεται από την κατασκευή Μπλάσκε-Μπούσεμαν.

Γενικεύσεις του τέταρτου προβλήματος του Χίλμπερτ

Βρέθηκε η αντιστοιχία μεταξύ των επίπεδων n-διάστατων μετρικών Φίνσλερ και των ειδικών συμπλεκτικών μορφών στην πολλαπλότητα Γκράσμαν ${\displaystyle G(n+1,2)}$ в ${\displaystyle E^{n+1}}$.^[17]

Θεωρήθηκαν περιοδικές λύσεις του τέταρτου προβλήματος του Χίλμπερτ:

1. Έστω (M, g) μια συμπαγής τοπικά ευκλείδεια πολλαπλότητα του Ρίμαν. Ας υποθέσουμε ότι δίνεται η ${\displaystyle C^{2}}$ μετρική Φίνσλερ στην M με τις ίδιες γεωδαισιακές όπως στη μετρική g. Τότε η μετρική Φίνσλερ είναι το άθροισμα μιας τοπικά μετρικής Μινκόφσκι και μιας κλειστής 1-μορφής.^[18]

1. Έστω (M, g) ένας συμπαγής συμμετρικός χώρος Ρίμαν με βαθμό μεγαλύτερο του ενός. Αν F είναι μια συμμετρική ${\displaystyle C^{2}}$ μετρική Φίνσλερ, της οποίας οι γεωδαισιακές συμπίπτουν με τις γεωδαισιακές της Ριμανιανής μετρικής g, τότε ο (M, g) είναι ένας συμμετρικός χώρος Φίνσλερ.^[18] Το ανάλογο αυτού του θεωρήματος για συμμετρικούς χώρους με βαθμό ένα δεν έχει αποδειχθεί ακόμα.

Μια άλλη έκθεση του τέταρτου προβλήματος του Χίλμπερτ μπορεί να βρεθεί στο έργο του Πάιβα.^[19]

Άλυτα προβλήματα

1. Το τέταρτο πρόβλημα του Χίλμπερτ για τη μη συμμετρική μετρική Φίνσλερ δεν έχει επιλυθεί ακόμα.
2. Η περιγραφή της μετρικής στο ${\displaystyle RP^{n}}$ για την οποία τα k-επίπεδα ελαχιστοποιούν την k-περιοχή δεν έχει δοθεί ( Μπούσεμαν).^[20]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Proof of Dehn's Theorem at Everything2
• Weisstein, Eric W., "Dehn Invariant" από το MathWorld.
• Dehn Invariant at Everything2
• Ντέιβιντ Χίλμπερτ, Μαθηματικά προβλήματα, 6ο πρόβλημα, σε αγγλική μετάφραση.

Δείτε επίσης

• Μερική διαφορική εξίσωση
• Καρλ Φρίντριχ Γκάους
• Προβολικός χώρος
• Δυναμικός προγραμματισμός
• Μαθηματική ανάλυση
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μερική διαφορική εξίσωση
• Δευτεροβάθμια εξίσωση
• Χώρος Χίλμπερτ
• Ντάβιντ Χίλμπερτ
• Ευκλείδειος χώρος
• Θεωρία αριθμών
• Ισοσκελές τρίγωνο

Βιβλιογραφία

• Stakhov, Alexey· Aranson, Samuil (14 Ιουλίου 2016). "Golden" Non-euclidean Geometry, The: Hilbert's Fourth Problem, "Golden" Dynamical Systems, And The Fine-structure Constant. World Scientific. ISBN 978-981-4678-31-5. 
• Stakhov, Alexey (2009). The Mathematics of Harmony: From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science. World Scientific. ISBN 978-981-277-583-2. 
• Holzapfel, Rolf-Peter (6 Δεκεμβρίου 2012). The Ball and Some Hilbert Problems. Birkhäuser. ISBN 978-3-0348-9051-9. 
• Kowalski, Old?ich· Krupkova, Olga (2008). Differential Geometry and Its Applications: Proceedings of the 10th International Conference, DGA 2007, Olomouc, Czech Republic, 27-31 August 2007. World Scientific. ISBN 978-981-279-060-6. 
• Katok, Svetlana· Sossinsky, A. B. MASS Selecta: Teaching and Learning Advanced Undergraduate Mathematics. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-7258-1. 
• Grinberg, Eric (2006). Proceedings of the International Conference Integral Geometry and Convexity: Wuhan, China, 18-23 October 2004. World Scientific. ISBN 978-981-256-513-6. 
• Grinberg, Eric L.· Zhang, Gaoyong (20 Απριλίου 2006). Integral Geometry And Convexity - Proceedings Of The International Conference. World Scientific. ISBN 978-981-4479-27-1. 
• Rowe, David E. (13 Φεβρουαρίου 2018). A Richer Picture of Mathematics: The Göttingen Tradition and Beyond. Springer. ISBN 978-3-319-67819-1. 
• Lemmens, Bas· Nussbaum, Roger (3 Μαΐου 2012). Nonlinear Perron-Frobenius Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89881-2. 
• Arnold, V.· Gelfand, I. M. (6 Δεκεμβρίου 2012). The Arnold-Gelfand Mathematical Seminars. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-4122-5. 

Παραπομπές

1. Darboux, Gaston (1894). Leçons sur la theorie generale des surfaces. III. Paris. 
2. Hamel, Georg (1903). «Uber die Geometrien in denen die Geraden die Kürzesten sind». Mathematische Annalen 57 (2): 221–264. doi:10.1007/BF01444348. 
3. А. В. Погорелов, Полное решение IV проблемы Гильберта, ДАН СССР № 208, т.1 (1973), 46–49. English translation: Pogorelov, A. V. (1973). «A complete solution of Hilbert's fourth problem». Doklady Akademii Nauk SSSR 208 (1): 48–52. 
4. А. В. Погорелов, Четвертая Проблема Гильберта. Наука, 1974. English translation: A.V. Pogorelov, Hilbert's Fourth Problem, Scripta Series in Mathematics, Winston and Sons, 1979.
5. R. V. Ambartzumian, A note on pseudo-metrics on the plane, Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete 1976, Volume 37, Issue 2, pp 145–155
6. «Αξιώματα Αρχιμήδους – Ευδόξου. Από τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη στις Μη Αρχιμήδειες Γεωμετρίες: Μια ιστορική διαδρομή με διδακτικές προεκτάσεις». www.openarchives.gr. Ανακτήθηκε στις 16 Δεκεμβρίου 2024. 
7. Hilbert, David, "Mathematische Probleme" Göttinger Nachrichten, (1900), pp. 253–297, and in Archiv der Mathematik und Physik, (3) 1 (1901), 44–63 and 213–237. Published in English translation by Dr. Maby Winton Newson, Hilbert, David (1902). «Mathematical Problems». Bulletin of the American Mathematical Society 8 (10): 437–479. doi:10.1090/S0002-9904-1902-00923-3. . [A fuller title of the journal Göttinger Nachrichten is Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wiss. zu Göttingen.]
8. Beltrami, Eugenio (1865). «Risoluzione del Problema: Riportare i punti di una superficie sobra un piano in modo che le linee geodetiche Vengano rappresentate da linee rette». Annali di Matematica Pura ed Applicata 7: 185–204. doi:10.1007/BF03198517. https://zenodo.org/record/1595552. 
9. «Κεφάλαιο 5 -Πολλαπλότητες Riemann - 5.2 Μετρικές Riemann». repfiles.kallipos.gr. Ανακτήθηκε στις 16 Δεκεμβρίου 2024. 
10. Minkowski, Hermann (1953). Geometrie der Zahlen. B. G. Teubner, Leipzig-Berlin. 
11. Hilbert, David (1895). «Uber die gerade Linie als kürzeste Verbindung zweier Punkte». Mathematische Annalen 46: 91–96. doi:10.1007/BF02096204. https://archive.org/details/sim_mathematische-annalen_1895_46/page/n93. 
12. Santaló, Luís A. (1967). «Integral geometry». Στο: Chern, S. S., επιμ. Studies in Global Geometry and Analysis. Mathematical Association of America, Washington, D. C. σελίδες 147–195. 
13. Busemann, Herbert (1955). The Geometry of Geodesics. Academic Press, New York. 
14. Busemann, Herbert (1981). «Review of: A. V. Pogorelov, Hilbert's fourth problem». Bulletin of the American Mathematical Society. New Series 4 (1): 87–90. doi:10.1090/S0273-0979-1981-14867-9. https://projecteuclid.org/journals/bulletin-of-the-american-mathematical-society-new-series/volume-4/issue-1/Review-A-V-Pogorelov-Hilberts-fourth-problem/bams/1183547850.full. 
15. Szabó, Z. I. (1986). «Hilbert's fourth problem I». Advances in Mathematics 59 (3): 185–301. doi:10.1016/0001-8708(86)90056-3. 
16. Alexander, Ralph (1988). «Zonoid theory and Hilbert fourth problem». Geometriae Dedicata 28 (2): 199–211. doi:10.1007/BF00147451. 
17. Álvarez Paiva, J. C. (2005). «Sympletic geometry and Hilbert fourth problem». Journal of Differential Geometry 69 (2): 353–378. doi:10.4310/jdg/1121449109. 
18. Álvarez Paiva, J. C.; Barbosa Gomes, J. (2018). «Periodic Solutions of Hilbert fourth problem». Journal of Topology and Analysis. doi:10.1142/S1793525321500576. 
19. Álvarez Paiva, J. C. (2003). «Hilbert's fourth problem in two dimensions». MASS Selecta: 165–183. 
20. Papadopoulos, Athanase (2014). «Hilbert's fourth problem». Στο: Papadopoulos, Athanase· Troyanov, Marc, επιμ. Handbook of Hilbert geometry. IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics. 22. European Mathematical Society. σελίδες 391–431. doi:10.4171/147-1/15. ISBN 978-3-03719-147-7. 

• Stampacchia, Guido (1976). «Hilbert's Twenty-Third Problem: Extension of the Calculus of Variations». Στο: Felix E. Browder, επιμ. Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. XXVIII.2. American Mathematical Society. σελίδες 611–628. ISBN 0-8218-1428-1. 
• Benesova, B. and Kruzik, M.: "Weak Lower Semicontinuity of Integral Functionals and Applications". SIAM Review 59(4) (2017), 703–766.
• Busemann, Herbert (1976). «Problem IV. Desarguesian spaces». Στο: Browder, Felix E., επιμ. Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. XXVIII. American Mathematical Society. σελίδες 131–141. ISBN 0-8218-1428-1. Zbl 0352.50010. 
• Papadopoulos, Athanase (2014). «Hilbert's fourth problem». Handbook of Hilbert geometry (A. Papadopoulos and M. Troyanov, ed.). IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics. 22. European Mathematical Society. σελίδες 391–432. ISBN 978-3-03719-147-7. 

Πηγές

• Benjamin Hart Yandell (2002). The Honors Class, Hilbert's Problems and their solvers by Benjamin Hart Yandell b19510316 d20040825 [2002] {510'.9'04--dc21}. 
• «Hilbert's 23 problems | mathematics | Britannica». www.britannica.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 15 Δεκεμβρίου 2024. 
• «David Hilbert's 24 Problems». Maths History (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 15 Δεκεμβρίου 2024. 
• Hemmen, Jan Leonard· Sejnowski, Terrence J. (2006). 23 Problems in Systems Neuroscience. Oxford University Press, USA. ISBN 978-0-19-514822-0. 
• «The Hilbert Problems» (PDF).