Μετρικός χώρος

Στα μαθηματικά, μετρικός χώρος είναι ένα σύνολο στο οποίο έχει οριστεί η έννοια της «απόστασης». Συγκεκριμένα, ας είναι ${\displaystyle X}$ ένα μη κενό σύνολο, και ${\displaystyle d:X\times X\rightarrow \mathbb {R} }$ μία συνάρτηση. Η συνάρτηση θα λέγεται μετρική, και το ζεύγος ${\displaystyle (X,d)}$ θε λέγεται μετρικός χώρος, αν για κάθε ${\displaystyle x,y,z\in X}$ ικανοποιεί τα ακόλουθα:

• ${\displaystyle x=y\Leftrightarrow d(x,y)=0=d(y,x)}$ (αξίωμα ταύτισης)

• ${\displaystyle \,d(x,y)=d(y,x)}$ (αξίωμα συμμετρίας)

• ${\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)}$ (αξίωμα τριγώνου)

Απόσταση δύο σημείων x, y του χώρου, ονομάζεται η τιμή d(x,y).

Σε έναν μετρικό χώρο επιπλέον, μπορεί να δείξει κανείς ότι

${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$,

για κάθε ${\displaystyle x,y\in X}$. Πράγματι, για κάθε x και για κάθε y, η τριγωνική ανισότητα δίνει ${\displaystyle d(x,y)+d(y,x)\geq d(x,x)}$· από τα αξιώματα ταύτισης και συμμετρίας παίρνουμε ${\displaystyle 2d(x,y)\geq 0}$, δηλαδή ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$. Τυπικό παράδειγμα μετρικού χώρου αποτελεί ο τριδιάστατος ευκλείδειος χώρος, εφοδιασμένος με την ευκλείδεια μετρική. Άλλο τυπικό παράδειγμα μετρικού χώρου είναι ο Διακριτός Μετρικός χώρος ο οποίος ορίζεται αν σε ένα τυχαίο σύνολο ορίσουμε την μετρική ως εξής: ${\displaystyle d(x,y)=1}$ αν ${\displaystyle x\neq y}$ και ${\displaystyle d(x,y)=0}$ αν ${\displaystyle x=y}$ Εύκολα δείχνουμε ότι ισχύουν και οι τρεις ιδιότητες της μετρικής.

Γενικεύσεις

Ένα σύνολο εφοδιασμένο με μία συνάρτηση, η οποία ικανοποιεί τα αξιώματα συμμετρίας και τριγώνου, αλλά αντί του αξιώματος ταύτισης, ικανοποιεί το

• ${\displaystyle x=y\Rightarrow d(x,y)=0=d(y,x)}$

λέγεται ψευδομετρικός χώρος. Ακόμη, ένα σύνολο εφοδιασμένο με μια συνάρτηση που ικανοποιεί το αξίωμα ταύτισης και το αξίωμα τριγώνου, αλλά όχι απαραίτητα και το αξίωμα συμμετρίας, λέγεται οιονεί μετρικός χώρος (quasi-metric space) ή μη συμμετρικός μετρικός χώρος.