Schwingers Quantenwirkungsprinzip

Schwingers Quantenwirkungsprinzip, nach seinem Entwickler Julian Seymour Schwinger benannt, ist einer der Zugänge zur Quantenfeldtheorie (QFT). In diesem Formalismus ist die Wirkung ein Operator, anders als in Feynmans Pfadintegralformulierung, in der die Wirkung ein klassisches Funktional ist.^[1][2]

In der modernen Formulierung der Quantenfeldtheorie sind beide Ansätze enthalten. Historisch war Schwingers Ansatz die erste Formulierung, in der Bosonen und Fermionen gleichermaßen behandelt wurden.

Der Ansatz besteht darin, in der klassischen Wirkung alle Felder durch Quantenoperatoren zu ersetzen. Das Wirkungsprinzip:

${\displaystyle \delta \langle B|A\rangle ={\frac {i}{\hbar }}\langle B|\delta S|A\rangle }$

bei dem ${\displaystyle \delta }$ für die Variation nach Parametern oder parametralen Funktionen steht, ergibt dann die Bewegungsgleichungen des Quantensystems.^[3] Variiert man z. B. nach der Zeit im Bra-Zustand ${\displaystyle \langle B|}$, so erhält man gerade die zeitabhängige Schrödingergleichung.^[4]

Historischer Abriss

Zwischen 1951 und 1954 schrieb Schwinger eine Serie von sechs Artikeln, in denen er basierend auf diesem Variationsprinzip die Quantenfeldtheorie aufbaut.^{[3][5][6][7][8][9]} Er nannte seinen Ansatz zunächst quantum dynamical principle, doch bereits bei der zweiten Veröffentlichung wählte er den Begriff quantum action principle,^[5] den er später auch in seinen Büchern beibehielt.

Eine erste Anwendung des Wirkungsprinzips war die Herleitung von Relationen zwischen den Greenschen Funktionen einer Quantenfeldtheorie, die heute als Dyson-Schwinger-Gleichungen bekannt sind.^[10][11]

Schwinger war mit seinem Ansatz auch einer der ersten, der Bosonen und Fermionen gemeinsam behandeln konnte und so eine Grundlage für die Quantenelektrodynamik geschaffen hat. Dennoch sind die verschiedenen Ansätze zur QFT inzwischen miteinander verschmolzen. In der modernen Formulierung der QFT kann das Wirkungsprinzip beispielsweise aus dem Pfadintegralformalismus hergeleitet werden.^[4]

Der historische Zusammenhang zwischen den verschiedenen Ansätzen zur Quantenfeldtheorie wurde von Silvan S. Schweber dargestellt^[12], der auch die Bedeutung der Greenschen Funktionen in einem Fachartikel zusammengefasst hat.^[13]

Feynman, Schwinger und Tomonaga erhielten 1965 gemeinsam den Nobelpreis für Physik für ihre Arbeiten zur QFT. Freeman J. Dyson konnte schließlich die Äquivalenz der Theorien (Schwinger-Tomonaga^[14] und Feynman) zeigen.^[15] Er konnte anhand dieser kovarianten QFT-Theorien mittels Störungstheorie die S-Matrix bestimmen.^[16]

Literatur

• Chris G. Gray: Principle of least action. In: Scholarpedia. Band 4, Nr. 12, 9. Dezember 2009, S. 8291, doi:10.4249/scholarpedia.8291 (englisch). 
• Kimball A. Milton, Julian Schwinger: Electromagnetic Radiation: Variational Methods, Waveguides and Accelerators. Springer, Berlin 2011, ISBN 978-3-642-06724-2 (englisch). 
• Kazuhiko Nishijima: Quantum Field Theory: By Academician Prof. Kazuhiko Nishijima - A Classic in Theoretical Physics. Hrsg.: Masud Chaichian, Anca Tureanu. Springer Netherlands, Dordrecht 2023, ISBN 978-94-024-2189-7, doi:10.1007/978-94-024-2190-3 (englisch). 
• Julian Schwinger, Berthold-Georg Englert (Editor): Quantum Mechanics. Springer, Berlin, Heidelberg 2001, ISBN 978-3-642-07467-7, doi:10.1007/978-3-662-04589-3 (englisch). 
• David J. Toms: The Schwinger Action Principle and Effective Action. Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-87676-6, doi:10.1017/CBO9780511585913 (englisch). 

Einzelnachweise

1. Richard Feynman, Laurie Brown (Editor): Feynman's Thesis. Hrsg.: World Scientific. 2005, doi:10.1142/5852 (englisch, worldscientific.com). 
2. R. P. Feynman: Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics. In: Reviews of Modern Physics. Band 20, Nr. 2, 1. April 1948, ISSN 0034-6861, S. 367–387, doi:10.1103/RevModPhys.20.367 (englisch). 
3. J. Schwinger: On Theory of quantized fields I. In: Physical Review. 82. Jahrgang, 1951, S. 914, doi:10.1103/PhysRev.82.914 (englisch). 
4. Claude Itzykson, Jean-Bernard Zuber: Quantum Field Theory. Dover Publications, Mineola, N.Y. 2005, ISBN 0-486-44568-2, S. 425 ff. (englisch, archive.org [abgerufen am 9. Januar 2023]). 
5. J. Schwinger: On Theory of quantized fields II. In: Physical Review. 91. Jahrgang, 1953, S. 713, doi:10.1103/PhysRev.91.713 (englisch). 
6. J. Schwinger: On Theory of quantized fields III. In: Physical Review. 91. Jahrgang, 1953, S. 728, doi:10.1103/PhysRev.91.728 (englisch). 
7. J. Schwinger: On Theory of quantized fields IV. In: Physical Review. 92. Jahrgang, 1953, S. 1283, doi:10.1103/PhysRev.92.1283 (englisch). 
8. J. Schwinger: On Theory of quantized fields V. In: Physical Review. 93. Jahrgang, 1954, S. 615, doi:10.1103/PhysRev.93.615 (englisch). 
9. J. Schwinger: On Theory of quantized fields VI. In: Physical Review. 94. Jahrgang, 1954, S. 1362, doi:10.1103/PhysRev.94.1362 (englisch). 
10. Julian Schwinger: On the Green’s functions of quantized fields. I. In: Proceedings of the National Academy of Sciences. Band 37, Nr. 7, Juli 1951, ISSN 0027-8424, S. 452–455, doi:10.1073/pnas.37.7.452 (englisch). 
11. Julian Schwinger: On the Green’s functions of quantized fields. II. In: Proceedings of the National Academy of Sciences. Band 37, Nr. 7, Juli 1951, ISSN 0027-8424, S. 455–459, doi:10.1073/pnas.37.7.455 (englisch). 
12. S. Schweber: QED and the men who made it: Dyson, Schwinger, Feynman and Tomonaga, Princeton University Press 1994, ISBN 0691033277
13. S. Schweber: The sources of Schwinger's Green's functions, PNAS vol. 102 no. 22 7783-7788
14. S. Tomonaga: On a Relativistically Invariant Formulation of the Quantum Theory of Wave Fields. In: Progress of Theoretical Physics. Band 1, Nr. 2, 1. August 1946, ISSN 1347-4081, S. 27–42, doi:10.1143/PTP.1.27 (englisch, oup.com [abgerufen am 9. Januar 2023]). 
15. F. J. Dyson: The Radiation Theories of Tomonaga, Schwinger, and Feynman. In: Physical Review. Band 75, Nr. 3, 1. Februar 1949, ISSN 0031-899X, S. 486–502, doi:10.1103/PhysRev.75.486 (englisch). 
16. F. J. Dyson: The S Matrix in Quantum Electrodynamics. In: Physical Review. Band 75, Nr. 11, 1. Juni 1949, ISSN 0031-899X, S. 1736–1755, doi:10.1103/PhysRev.75.1736 (englisch).