In der folgenden Saison gab Dawes sein Debüt in der National Hockey League für New York und erzielte ein Tor in acht Spielen der regulären Saison. Zudem stand er einmal in den Playoffs für die Rangers auf dem Eis. Obwohl Dawes in den folgenden beiden Spielzeiten deutlich mehr Eiszeit erhielt, wurde er kurz vor dem Ende der Trade Deadline in der Saison 2008/09 an die Phoenix Coyotes abgegeben, für die er bis Saisonende zwei Assists in zwölf Spielen erzielte.
Im September 2010 unterzeichnete Dawes als Free Agent bei den Atlanta Thrashers.[1] Die Saison 2010/11 begann er im Farmteam bei den Chicago Wolves und wurde nach starken Leistungen in der American Hockey League im Saisonverlauf in den NHL-Kader der Thrashers berufen. Im Februar 2011 wurde er gemeinsam mit Brent Sopel im Austausch für Ben Maxwell und einem Viertrunden-Wahlrecht im NHL Entry Draft 2011 an die Montréal Canadiens abgegeben. Für diese bestritt der Linksschütze vier Begegnungen und verbrachte die restliche Spielzeit im Farmteam bei den Hamilton Bulldogs und erreichte mit diesen die Conference Finals. In den Playoffs steuerte der Stürmer 22 Scorerpunkte zum erfolgreichen Abschneiden der Bulldogs bei.
Ende Mai 2011 wechselte er gemeinsam mit Dustin Boyd in die Kontinentale Hockey-Liga zu Barys Astana, wo er bis 2018 spielte. 2015, 2016 und 2017 wurde er jeweils für das KHL All-Star Game nominiert. 2018 wechselte er nach sieben Jahren in Astana, davon zwei Spielzeiten als Mannschaftskapitän, zu Awtomobilist Jekaterinburg. Dort verweilte er zwei Spielzeiten, um schließlich erneut innerhalb der KHL zu Ak Bars Kasan zu wechseln.[2] Dawes ist mit 293 erzielten Toren in 609 Spielen der zweiterfolgreichste Torschütze der KHL-Geschichte (Stand 31. August 2021)[3] und war in der Saison 2017/18 mit 35 Toren bester Torschütze. Im Juni 2021 unterzeichnete Dawes einen Zweijahresvertrag bei den Adler Mannheim aus der Deutschen Eishockey Liga (DEL).[4] Nach Erfüllung des Arbeitspapiers beendete der 38-Jährige im April 2023 seine aktive Karriere.
(Legende zur Spielerstatistik: Sp oder GP = absolvierte Spiele; T oder G = erzielte Tore; V oder A = erzielte Assists; Pkt oder Pts = erzielte Scorerpunkte; SM oder PIM = erhaltene Strafminuten; +/− = Plus/Minus-Bilanz; PP = erzielte Überzahltore; SH = erzielte Unterzahltore; GW = erzielte Siegtore; 1Play-downs/Relegation; Kursiv: Statistik nicht vollständig)