Lawrentjew machte 1922 seinen Abschluss an der Lomonossow-Universität in Moskau und promovierte dort (russischer Doktorgrad, entspricht einer Habilitation) 1933 bei Nikolai Lusin.[1] Danach war er Professor für Analysis und Funktionentheorie an der Lomonossow-Universität und ab 1934 Leiter der Abteilung Funktionentheorie am nach Moskau umgezogenen Steklow-Institut. 1939 wurde er Mitglied der Akademie der Wissenschaften der Ukrainischen SSR.[2] Von 1939 bis 1941 und von 1944 bis 1949 leitete er das Mathematikinstitut der Akademie in Kiew und ab 1945 war er deren Vizepräsident. 1950 wurde er Direktor des Instituts für Mechanik und Rechentechnik der Ukraine.
Er schrieb ein Buch über konforme Abbildungen, die er insbesondere in der Hydrodynamik anwandte, z. B. bei nichtlinearen Wellen, aber auch in der Geotechnik und Bautechnik, was bei den großen Damm- und Kanalbauprojekten in Russland ab den 1940er Jahren erforderlich war. In den 1940er Jahren entwickelte er die Theorie quasikonformer Abbildungen für die Anwendung in der Theorie partieller Differentialgleichungen.
Nach S. P. Nowikow[4] war er ein typisches Beispiel für die einseitige Ausrichtung sowjetischer Mathematiker der damaligen Zeit an Anwendungen in der Mechanik, was er mit einer Anekdote unterstreicht: zu seiner Meinung über die berühmte Lehrbuchreihe für theoretische Physik von Landau und Lifschitz befragt attestierte Lawrentjew ihnen eine gute Kenntnis der speziellen Funktionen.
Sein Sohn Michail M. Lawrentjew (1932–2010) war ebenfalls ein bedeutender russischer Mathematiker, Direktor des Mathematischen Instituts in Nowosibirsk und korrespondierendes Mitglied der russischen Akademie der Wissenschaften.
