Fortsetzungssatz von Lavrentieff

Der Fortsetzungssatz von Lavrentieff ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie, welcher auf den russischen Mathematiker Michail Lavrentieff zurückgeht. Er ist mit dem Satz von Mazurkiewicz verwandt und behandelt eine Fortsetzungseigenschaft vollständiger metrischer Räume.

Formulierung des Satzes

Gegeben seien vollständige metrische Räume ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ und darin Unterräume ${\displaystyle A\subseteq X}$ und ${\displaystyle B\subseteq Y}$ sowie ein Homöomorphismus ${\displaystyle h\colon A\rightarrow B}$ . Dann gilt:

Es existieren ${\displaystyle G_{\delta }}$-Mengen

${\displaystyle A^{*}\subseteq X}$ und ${\displaystyle B^{*}\subseteq Y}$

mit

${\displaystyle A\subseteq A^{*}\subseteq {\overline {A}}}$ und ${\displaystyle B\subseteq B^{*}\subseteq {\overline {B}}}$

und dazu ein Homöomorphismus

${\displaystyle h^{*}\colon A^{*}\rightarrow B^{*}}$ ,

welcher eine stetige Fortsetzung von ${\displaystyle h\colon A\rightarrow B}$ darstellt.

Quellen

• M. Lavrentieff: Contribution à la théorie des ensembles homéomorphes. In: Fundamenta Mathematicae. Band 6, 1924, S. 149–160. 
• Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Grundlagen der Abstrakten Analysis mit Anwendungen. R. Oldenbourg Verlag, München 2011, S. 218. 
• Stephen Willard: General Topology. Addison-Wesley, Reading MA u. a. 1970, S. 178. 

Weblinks

• Lavrentieffs Fortsetzungssatz in der Encyclopedia of Mathematics