Moser empfing die Priesterweihe für die Erzdiözese Wien am 30. Oktober 1938 in Rom. Am 1. Juni 1953 wurde er zum Ordinariatskanzler ernannt, im selben Jahr zum Wirklichen Erzbischöflichen Konsistorialrat. Am 6. Dezember 1958 erfolgte die Bestellung zum Domkapitular rudolfinischer Stiftung an St. Stephan; er stand später dem Domkapitel vom 1. Juli 1985 bis zu seinem Tod als Dompropst vor. Am 1. März 1961 wurde er gemeinsam mit Jakob Weinbacher zum Generalvikar ernannt. Am 1. September 1969 folgte Erzbischof-KoadjutorFranz Jachym den beiden Generalvikaren in diesem Amt nach.