Joseph Edgerton war der jüngere Bruder des Kongressabgeordneten Alfred Peck Edgerton (1813–1897) aus Ohio. Er besuchte die öffentlichen Schulen im Clinton County im Bundesstaat New York. Nach einem anschließenden Jurastudium und seiner Zulassung als Rechtsanwalt begann er ab 1839 in New York City in diesem Beruf zu arbeiten. Im Jahr 1844 verlegte er seinen Wohnsitz und seine Anwaltskanzlei nach Fort Wayne in Indiana. In seiner neuen Heimat stieg Edgerton auch in das Eisenbahngeschäft ein. In der Folge wurde er Präsident verschiedener Eisenbahngesellschaften.
Nach seinem Ausscheiden aus dem US-Repräsentantenhaus zog sich Joseph Edgerton aus der Politik zurück. Er starb am 25. August 1893 in Boston und wurde in Fort Wayne beigesetzt.
