Index (Gruppentheorie)

Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie ist der Index einer Untergruppe ein Maß für die relative Größe zur gesamten Gruppe.

Definition

Es sei ${\displaystyle G}$ eine Gruppe und ${\displaystyle U}$ eine Untergruppe. Dann sind die Menge ${\displaystyle G/U}$ der Linksnebenklassen und die Menge ${\displaystyle U\backslash G}$ der Rechtsnebenklassen gleichmächtig. Ihre Mächtigkeit ist der Index von ${\displaystyle U}$ in ${\displaystyle G}$ und wird mit ${\displaystyle (G\colon U)}$, manchmal auch ${\displaystyle [G\colon U]}$ oder ${\displaystyle |G\colon U|}$, bezeichnet.

Eigenschaften

• Es gilt ${\displaystyle (G\colon 1)=|G|}$. (Dabei bezeichnet ${\displaystyle |G|}$ die Ordnung von ${\displaystyle G}$.)
• Der Index ist multiplikativ, d. h. ist ${\displaystyle U}$ eine Untergruppe von ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle V}$ eine Untergruppe von ${\displaystyle U}$, so gilt

  ${\displaystyle (G\colon V)=(G\colon U)\cdot (U\colon V).}$

• Der Spezialfall ${\displaystyle V=1}$ wird oft als Satz von Lagrange (nach J.-L. Lagrange) bezeichnet:

  Für eine Gruppe ${\displaystyle G}$ und eine Untergruppe ${\displaystyle U}$ gilt:

  ${\displaystyle |G|=(G\colon U)\cdot |U|.}$

  Im Fall von endlichen Gruppen kann man den Index einer Untergruppe also als

  ${\displaystyle (G\colon U)={\frac {|G|}{|U|}}}$

  berechnen.

• Ist ${\displaystyle N\vartriangleleft G}$ ein Normalteiler, so ist der Index von ${\displaystyle N}$ in ${\displaystyle G}$ gerade die Ordnung der Faktorgruppe ${\displaystyle G/N}$, also

  ${\displaystyle (G\colon N)=\left|G/N\right|}$.

• Eine Untergruppe vom Index 2 ist ein Normalteiler, da von den zwei (Links)nebenklassen die eine die Untergruppe selbst und die andere deren Komplement ist.
• Allgemeiner: Ist ${\displaystyle U}$ eine Untergruppe von ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle p>1}$ ihr Index, der zugleich der kleinste Teiler der Ordnung ${\displaystyle |G|}$ ist, dann ist ${\displaystyle U}$ ein Normalteiler in ${\displaystyle G}$.

Topologische Gruppen

Im Kontext von topologischen Gruppen spielen Untergruppen von endlichem Index eine Sonderrolle:

• Eine Untergruppe von endlichem Index ist genau dann offen, wenn sie abgeschlossen ist. (Offene Untergruppen sind stets abgeschlossen.)
• Jede offene Untergruppe einer kompakten Gruppe hat endlichen Index.

Siehe auch

• Der Index des Zentralisators eines Gruppenelements entspricht der Mächtigkeit seiner Konjugationsklasse.^[1]
• In der Galoistheorie ist durch die Galoiskorrespondenz ein Zusammenhang zwischen den relativen Indizes von Untergruppen der Galoisgruppe und den relativen Graden von Körpererweiterungen gegeben.^[2]

Literatur

Index in der Gruppentheorie:

• Thomas W. Hungerford: Algebra. 5. Auflage. Springer, New York 1989, ISBN 0-387-90518-9, S. 38 ff. 

In topologischen Gruppen:

• Lew Pontrjagin: Topologische Gruppen. Teubner, Leipzig 1957 (russisch: Nepreryvnye gruppy. Übersetzt von Viktor Ziegler). 

Einzelnachweise

1. Hungerford (1989), S. 89
2. Hungerford (1989), S. 247