Auflösung (Blockplan)

Eine Auflösung^[1] eines 2-Blockplanes (einer speziellen Inzidenzstruktur) ist in der endlichen Geometrie eine Verallgemeinerung des Parallelismus von Blockplänen. So ist die Partition der Menge der d-dimensionalen Unterräume als Blöcke einer affinen Geometrie ${\displaystyle AG_{d}(n,q)}$ in Parallelenscharen eine 1-Auflösung dieser Geometrie als 2-Blockplan. Ein Blockplan, der eine Auflösung zulässt, heißt auflösbarer Blockplan,^[1] zerfällt bei dieser Auflösung die Blockmenge in eine maximale Anzahl c von verallgemeinerten Parallelen-Scharen, dann spricht man von einer starken Auflösung^[1] und nennt den Blockplan stark auflösbar.^[1]

Definitionen

• Sei ${\displaystyle {\mathcal {I}}=({\mathfrak {p}},{\mathfrak {B}},I)}$ ein ${\displaystyle 2-(v,k,\lambda )}$-Blockplan. Eine Auflösung von ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ist eine Partition der Blockmenge ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ von ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ in Scharen ${\displaystyle \{{\mathfrak {B}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}}$, so dass es positive ganze Zahlen ${\displaystyle \{\rho _{1},\ldots ,\rho _{c}\}}$ gibt mit der Eigenschaft, dass jeder Punkt in ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ auf genau ${\displaystyle \rho _{i}}$ Blöcken von ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{i}}$ liegt. Die Zahlen ${\displaystyle \rho _{1},\ldots ,\rho _{c}}$ heißen die Parameter der Auflösung. Sind alle Parameter einer Auflösung gleich ${\displaystyle \rho }$, so spricht man von einer ${\displaystyle \rho }$-Auflösung.
• Ein Blockplan heißt auflösbar bzw. ${\displaystyle \rho }$-auflösbar, wenn er eine Auflösung bzw. eine ${\displaystyle \rho }$-Auflösung besitzt.
• Ist ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ein auflösbarer Blockplan mit c Klassen und gilt ${\displaystyle b+1=v+c}$, dann wird diese Auflösung starke Auflösung des Blockplanes und der Blockplan stark auflösbar genannt.
• Sind ${\displaystyle B,C\in {\mathfrak {B}}_{i}}$ zwei Blöcke eines auflösbaren Blockplanes in derselben Klasse ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{i}}$, dann schreibt man auch ${\displaystyle B\parallel C}$ und nennt die Blöcke parallel bezüglich der Auflösung. Der so definierte verallgemeinerte Parallelismus ist offenbar eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Blöcke.
• Für eine Auflösung ${\displaystyle \{{\mathfrak {B}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}}$ setzt man ${\displaystyle m_{i}=|{\mathfrak {B}}_{i}|,1\leq i\leq c}$ für die Anzahl der Blöcke in der Schar ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{i}}$.

Eigenschaften

Sei ${\displaystyle {\mathcal {I}}=({\mathfrak {p}},{\mathfrak {B}},I)}$ ein ${\displaystyle 2-(v,k,\lambda )}$-Blockplan, der eine Auflösung ${\displaystyle \{{\mathfrak {B}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}}$ mit den Parametern ${\displaystyle \rho _{1},\ldots ,\rho _{c}}$ besitzt. Dann gilt^[2]

1. ${\displaystyle m_{i}\cdot k=v\cdot \rho _{i},\quad (1\leq i\leq c),}$
2. ${\displaystyle \rho _{1}+\cdots +\rho _{c}=r,\quad m_{1}+\cdots +m_{c}=b,}$
3. Besitzt ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ eine ${\displaystyle \rho }$-Auflösung, so ist k ein Teiler von ${\displaystyle v\cdot \rho }$ und jede Klasse hat dieselbe Anzahl m von Blöcken.

• Ist ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ein auflösbarer Blockplan mit c Klassen, dann ist ${\displaystyle b+1\geq v+c}$.^[3] Eine starke Auflösung ist also eine Auflösung mit der für die Blockmenge ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ von ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ größtmöglichen Anzahl an Scharen.

Satz von Hughes und Piper über starke Auflösungen

• Der folgende Satz von Hughes und Piper^[4] charakterisiert die starken Auflösungen:

Sei ${\displaystyle {\mathcal {I}}=({\mathfrak {p}},{\mathfrak {B}},I)}$ ein ${\displaystyle 2-(v,k,\lambda )}$-Blockplan mit b Blöcken, der eine Auflösung ${\displaystyle \{{\mathfrak {B}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}}$ besitzt. Dann gilt ${\displaystyle b+1\geq v+c}$ und Gleichheit genau dann, wenn es zwei nichtnegative Zahlen ${\displaystyle \mu _{I}}$ („innere Schnittzahl“) und ${\displaystyle \mu _{A}}$ („äußere Schnittzahl“) mit folgenden Eigenschaften gibt:

• Je zwei verschiedene Blöcke derselben Klasse haben stets genau ${\displaystyle \mu _{I}}$ Schnittpunkte und
• je zwei Blöcke aus verschiedenen Klassen haben stets genau ${\displaystyle \mu _{A}}$ Schnittpunkte.

Satz von Beker über auflösbare 3-Blockpläne

• Der Satz von Beker^[5] klärt die Frage, wann ein stark auflösbarer Blockplan ein 3-Blockplan ist:

Die stark auflösbaren 3-Blockpläne sind genau die Hadamard 3-Blockpläne.^[6]

Beispiele

• Jeder Blockplan ${\displaystyle {\mathcal {I}}=({\mathfrak {p}},{\mathfrak {B}},I)}$ besitzt die triviale Auflösung ${\displaystyle \{{\mathfrak {B}}\}}$, d. h. jeder Blockplan ist r-auflösbar. – Die Zahl ${\displaystyle r=b_{1}}$ gibt bei einem Blockplan an, mit wie vielen Blöcken ein beliebiger Punkt inzidiert.
• Ist ${\displaystyle \{{\mathfrak {B}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}}$ eine Auflösung von ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$, dann erhält man wieder eine Auflösung von ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$, wenn man gewisse Scharen zu einer neuen Schar vereinigt. Zum Beispiel sind ${\displaystyle \{{\mathfrak {B}}_{1}\cup {\mathfrak {B}}_{2},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}}$ und ${\displaystyle \{{\mathfrak {B}}_{1}\cup \ldots \cup {\mathfrak {B}}_{c-1},{\mathfrak {B}}_{c}\}}$ wieder Auflösungen von ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$.
• Ein Blockplan ist genau dann 1-auflösbar, wenn er einen Parallelismus besitzt. Die Auflösung ${\displaystyle \{{\mathfrak {B}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}}$ ist die Einteilung der Blockmenge in Parallelenscharen und es gilt ${\displaystyle c=r=b_{1}}$, die innere Schnittzahl ist dann ${\displaystyle \mu _{I}=0}$, die äußere Schnittzahl braucht aber nicht konstant sein.

• Speziell ist eine affine Geometrie ${\displaystyle AG_{d}(n,q)}$ mit ihrem gewöhnlichen Parallelismus 1-auflösbar und es gilt dann ${\displaystyle m_{i}=b/r}$, das heißt die Anzahl der Parallelen in jeder Schar ist gleich, die äußere Schnittzahl ist konstant, falls ${\displaystyle d=n-1}$, also die Blockmenge die Menge der Hyperebenen des Raumes ist.
• Jeder affine Blockplan ist durch seinen Parallelismus 1-auflösbar, auch hier ist ${\displaystyle m_{i}=b/r}$ für jede Parallelenschar gleich.

Verallgemeinerung: Taktische Zerlegung

Jede Auflösung eines 2-Blockplanes liefert zugleich auch eine spezielle taktische Zerlegung dieses Blockplanes. Bei dieser Verallgemeinerung des Konzeptes „Auflösung eines Blockplanes“ wird im Allgemeinen neben der Partitionierung der Blockmenge in (verallgemeinerte Parallelen-)Scharen auch die Punktmenge in mehrere „Punktklassen“ zerlegt.

Literatur

Artikel zu Einzelfragen

• Daniel R. Hughes, Fred C. Piper: On resolutions and Bose’s theorem. In: Geom. Dedicata. Band 5, 1976, S. 129–133, doi:10.1007/BF00148147. 
• Henry Beker: On strong tactical decompositions. In: Journal of the London Mathematical Society. Band 16, 1977, S. 191–196 (Abstract [abgerufen am 2. Mai 2013]). 

Lehrbücher

• Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie I. Blockpläne. Bibliographisches Institut, Mannheim / Wien / Zürich / New York 1982, ISBN 3-411-01632-9, Kapitel 5. Auflösungen und Zerlegungen, S. 196–240. 
• Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim 1986, ISBN 0-521-33334-2. 
• D. R. Hughes, F. C. Piper: Projective planes. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1973 (Hier wird die Auflösbarkeit nur für die Spezialfälle der affinen Geometrien definiert und untersucht.). 

Einzelnachweise

1. Beutelspacher (1982)
2. Beutelspacher (1982), Lemma 5.1.1
3. Beutelspacher (1982), Korollar 5.1.2
4. Hughes, Piper (1976); Beutelspacher (1982), Hauptsatz 5.1.9
5. Beker (1977)
6. Beutelspacher (1982), Satz 5.1.10