Studentovo rozdělení

Graf hustoty pravděpodobnosti Studentova rozdělení pro různý počet stupňů volnosti

Studentovo rozdělení (t-rozdělení) je rozdělení pravděpodobnosti, které je často využíváno ve statistice.

Etymologie

Studentovo rozdělení jako první popsal a prakticky využil anglický statistik William Sealy Gosset publikující pod pseudonymem Student.

Rozdělení pravděpodobnosti

Studentovo rozdělení o ${\displaystyle n}$ stupních volnosti, které označujeme ${\displaystyle t(n)}$, je rozdělení náhodné veličiny ${\displaystyle X={\frac {U}{\sqrt {\frac {V}{n}}}}}$, kde ${\displaystyle U}$ a ${\displaystyle V}$ jsou vzájemně nezávislé náhodné veličiny, přičemž ${\displaystyle U}$ má normované normální rozdělení ${\displaystyle \operatorname {N} (0,1)}$ a ${\displaystyle V}$ má rozdělení chí kvadrát ${\displaystyle \chi ^{2}(n)}$.

Rozdělení ${\displaystyle t(n)}$ má pro ${\displaystyle -\infty <x<\infty }$ a ${\displaystyle n=1,2,3,...}$ hustotu pravděpodobnosti

${\displaystyle f(x)={\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right){\sqrt {\pi n}}}}{\left(1+{\frac {x^{2}}{n}}\right)}^{-{\frac {n+1}{2}}}}$

kde ${\displaystyle \Gamma }$ je gama funkce (zobecnění faktoriálu pro reálná čísla).

Charakteristiky rozdělení

Střední hodnota rozdělení ${\displaystyle t(n)}$ je

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=0}$

pro ${\displaystyle n>1}$.

Rozdělení ${\displaystyle t(n)}$ má rozptyl

${\displaystyle \sigma ^{2}(X)={\frac {n}{n-2}}}$

pro ${\displaystyle n>2}$.

Tabulka některých kvantilů pro některé počty stupňů volnosti:

počet stupňů volnosti N	q0,95	q0,975	q0,99	q0,995
1	6,31	12,71	31,82	63,66
2	2,92	4,30	6,97	9,93
3	2,35	3,18	4,54	5,84
4	2,13	2,78	3,75	4,60
5	2,02	2,57	3,37	4,03
10	1,81	2,23	2,76	3,17
15	1,75	2,13	2,60	2,95
20	1,73	2,09	2,53	2,85
30	1,70	2,04	2,46	2,75
50	1,68	2,01	2,40	2,68
Limita pro N rostoucí nade všechny meze	1,65	1,96	2,33	2,58

Poznámka: protože t-rozdělení je symetrické, pro kvantily platí, že ${\displaystyle q_{p}=-q_{(1-p)}}$.

Poznámka: uvedené kvantily odpovídají kritickým hodnotám pro některé hladiny významnosti (používané například v t-testu), a to

• 95% kvantil – 10% hladina významnosti
• 97,5% kvantil – 5% hladina významnosti
• 99% kvantil – 2% hladina významnosti
• 99,5% kvantil – 1% hladina významnosti

Vlastnosti

Pro hodnoty ${\displaystyle n>30}$ je rozdělení ${\displaystyle t}$ velmi blízké normovanému normálnímu rozdělení.

Související články

• T-test
• Normální rozdělení
• Rozdělení pravděpodobnosti

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Studentovo rozdělení na Wikimedia Commons