Spojitost je přirozená a očekávatelná vlastnost zobrazení. Pro reálné funkcespojitost znamená, že graf funkce neobsahuje ostré skoky a vypadá jako souvislákřivka. Pojem lze definovat na metrických prostorech, tedy na množinách, na kterých je možné měřit "vzdálenosti". Jedná se tedy například o množiny bodů v rovině, anebo také nějakou množinu funkcí. V metrických prostorech spojitost znamená, že pokud se nějaký bod blíží jinému bodu, blíží se k sobě i obrazy.
Metrickou definici lze zobecnit na topologické prostory, tj. na ještě širší skupinu množin, než jsou metrické prostory. V topologii je spojitost definována tak, že množiny zachovávají některé své topologické vlastnosti. Spojité zobrazení například převádí souvislé množiny na souvislé, kompaktní na kompaktní a vzor otevřené množiny je otevřená množina. Tyto různé definice spojitosti jsou vzájemně kompatibilní.
Formální definice
V topologických prostorech
Zobrazení mezi topologickými prostory a nazveme spojité, pokud vzor každé otevřené množiny v je otevřená množina v .
Ekvivalentní definice říká, že zobrazení je spojité v bodě, jestliže pro každé okolí bodu existuje okolí bodu takové, že . Zobrazení je spojité, pokud je spojité v každém .
V metrických prostorech
Zobrazení z metrického prostoru prostoru do je spojité, právě když pro každé a každé existuje takové, že pro každý bod splňující platí . Jinými slovy, vzdálenost obrazů dvou bodů může být libovolně blízká, pokud zvolíme vzdálenost vzorů dostatečně blízko.
Ekvivalentně, zobrazení je spojité v bodě , jestliže platí implikace
.
Spojitá zobrazení na množinách čísel
Podrobnější informace naleznete v článku spojitá funkce.
Zobrazením mezi množinami čísel se častěji říká funkce. Funkce je spojitá v bodě , pokud pro každé existuje takové, že
Mapa zobrazující část krajiny se dá chápat jako spojité zobrazení. Tento koncept je formalizován v definici variety. Varieta je zadána pomocí atlasu, který pozůstává ze spojitých map.
Nechť je prostor spojitých reálných funkcí na intervalu spolu se supremovou normou a nechť je spojitá funkce. Definujme . Pak je spojité zobrazení v .
Příkladem spojitého zobrazení na topologickém prostoru, který není metrizovatelný, je funkce , která ordinálnímu číslu přiřadí -tou nejmenší nekonečnou mohutnost. Jedná se o zobrazení na vlastní třídě, ovšem pro každé ordinální číslo (které je zároveň množinou ordinálních čísel) je restrikce této funkce na spojitým [pozn 2] zobrazením z do obrazu.
Lineární zobrazení nekonečně rozměrného vektorového prostoru může, ale také nemusí být spojité. Nechť je prostor hladkých funkcí spolu s maximovou normou . Pak derivace je lineární nespojité zobrazení. [pozn 3].
Odkazy
Poznámky
↑Stačí si uvědomit, že pro diskrétní prostor platí
↑Pokud konverguje k nějakému , pak posloupnost konverguje k . Příkladem je posloupnost konvergující k , zvolíme-li a pro každé přirozené číslo .