Přechodový jev (elektrický obvod)

Přechodový jev je fyzikální děj probíhající v čase mezi dvěma ustálenými stavy. V ustáleném stavu se energie soustavy nemění (popř. se mění periodicky), během přechodového děje dochází k jejím změnám.

Vznik jevu je podmíněn změnami energie v akumulačních prvcích obvodu (kondenzátory a cívky). Tyto změny nemohou proběhnout okamžitě, protože by vyžadovaly zdroj nekonečné energie. Charakter jevu závisí na druhu zapojených akumulačních prvků. Obsahuje-li obvod pouze jeden akumulační prvek obvodu (tj. kromě rezistoru pouze kondenzátor nebo pouze cívku), nemůže dojít k vratné výměně energie a děj probíhá aperiodicky. Pokud však obvod obsahuje oba akumulační prvky, dochází k periodické výměně energie mezi prvky - rezonance. Tyto obvody pak nazýváme oscilátory.

Průběh náběhového (připojení zdroje) resp. doběhového (odpojení zdroje) proudu v RL resp. RC obvodu.

Přechodové jevy prvního řádu

RL obvod

RL obvod

RL obvod je tvořen zdrojem stejnosměrného elektrického napětí a sériovým zapojením ideálního rezistoru a ideální cívky. Po připojení ke zdroji začne obvodem procházet elektrický proud, který na cívce vytvoří magnetické pole, které se bude zvětšovat a na cívce se začne indukovat napětí. Napětí na cívce je zpočátku stejně velké jako napětí zdroje, zatímco napětí na rezistoru je rovno nule. Postupně se však bude napětí na cívce snižovat a na rezistoru zvyšovat až bude obvodem protékat ustálený proud jako řešení rovnice (2.Kirchhoffův zákon):

${\displaystyle L{\frac {di(t)}{dt}}+R\,i(t)=U_{0}\,\,\,\,\,}$ tj. ${\displaystyle i(t)={U_{0} \over R}(1-e^{-{t \over \tau }})\,\,\,\,\,}$ tj. ${\displaystyle i(0)=0\,\,\,\,\,}$ tj. ${\displaystyle i(\infty )={U_{0} \over R}}$

a po odpojení zdroje napětí se začne energie magnetického pole cívky měnit v rezistoru na energii tepelnou:

${\displaystyle L{\frac {di(t)}{dt}}+R\,i(t)=0\,\,\,\,\,}$ tj. ${\displaystyle i(t)={U_{0} \over R}e^{-{t \over \tau }}\,\,\,\,\,}$ tj. ${\displaystyle i(0)={U_{0} \over R}\,\,\,\,\,}$ tj. ${\displaystyle i(\infty )=0}$,

časová konstanta je ${\displaystyle \tau ={\frac {L}{R}}}$.

RL obvod (střídavý)

RL obvod (střídavý)

RL obvod je tvořen zdrojem střídavého elektrického napětí a sériovým zapojením ideálního rezistoru a ideální cívky a je modelován rovnicí (2.Kirchhoffův zákon):

${\displaystyle L{\frac {di(t)}{dt}}+R\,i(t)=U_{0}\sin \omega t\,\,\,\,\,}$ tj. ${\displaystyle i(t)={U_{0} \over Z}(e^{-{t \over \tau }}-\cos \omega t)\,\,\,\,\,}$ tj. ${\displaystyle i(0)=0\,\,\,\,\,}$ tj. ${\displaystyle i(\infty )={U_{0} \over Z}\sin(\omega t-{\pi \over 2})}$

kde ${\displaystyle Z^{2}=R^{2}+(\omega L)^{2}}$ a ${\displaystyle \omega }$ představuje úhlovou frekvenci střídavé třífázové sítě (${\displaystyle \tau }$ viz výše). Uvedené řešení diferenciální rovnice je východiskem výpočtů zkratových poměrů v třífázových elektrizačních soustavách, viz norma ČSN EN 60909-0 ED.2 (333022).

RC obvod

RC obvod

Postupné nabíjení resp. vybíjení kondenzátoru napětím ${\displaystyle U_{C}}$ po připojení resp. odpojení zdroje.

RC obvod je tvořen zdrojem stejnosměrného elektrického napětí a sériovým zapojením ideálního rezistoru a ideálního kondenzátoru. Po připojení ke zdroji začne obvodem procházet elektrický proud, který na kondenzátoru vytvoří elektrické pole, které se bude zvětšovat a kondenzátor se začne nabíjet (bude v něm vzrůstat nahromaděný náboj). Napětí na rezistoru je zpočátku stejně velké jako napětí zdroje, zatímco napětí na kondenzátoru je rovno nule. Postupně se však bude napětí na rezistoru snižovat a na kondenzátoru zvyšovat až bude obvodem protékat ustálený proud jako řešení rovnice (2.Kirchhoffův zákon):

${\displaystyle R\,i(t)+{\frac {1}{C}}\int \limits _{0}^{t}i(T)\,dT=U_{0}}$.

Tuto rovnici je nutné derivovat podle času t, dostáváme rovnici prvního řádu:

${\displaystyle R{\frac {di(t)}{dt}}+{\frac {1}{C}}i(t)=0\,\,\,\,\,}$ tj. ${\displaystyle i(t)={U_{0} \over R}\,e^{-{t \over \tau }}\,\,\,\,\,}$ tj. ${\displaystyle i(0)={U_{0} \over R}\,\,\,\,\,}$ tj. ${\displaystyle i(\infty )=0}$

a po odpojení zdroje napětí se začne energie elektrického pole kondenzátoru měnit v rezistoru na energii tepelnou:

${\displaystyle R{\frac {di(t)}{dt}}+{\frac {1}{C}}i(t)=0\,\,\,\,\,}$ tj. ${\displaystyle i(t)=-{U_{0} \over R}\,e^{-{t \over \tau }}\,\,\,\,\,}$ tj. ${\displaystyle i(0)=-{U_{0} \over R}\,\,\,\,\,}$ tj. ${\displaystyle i(\infty )=0}$,

kde časová konstanta je ${\displaystyle \tau =RC}$, tj. za čas ${\displaystyle t=\tau }$ se kondenzátor nabije zhruba na dvě třetiny své kapacity a za čas ${\displaystyle t=3\tau }$ se kondenzátor nabije na 95% své kapacity, kondenzátor pak lze považovat za nabitý. Vybíjení kondenzátoru probíhá reverzně k nabíjení.

Lineární pasivní elektrický RC obvod měnící signál v závislosti na kmitočtu se užívá jako frekvenční filtr, např. horní propust nebo dolní propust.

Přechodové jevy druhého řádu

LC obvod

LC obvod

LC obvod je tvořen zdrojem stejnosměrného elektrického napětí a sériovým zapojením ideální cívky a ideálního kondenzátoru a je modelován rovnicí (2.Kirchhoffův zákon):

${\displaystyle L{\frac {di(t)}{dt}}+{\frac {1}{C}}\int \limits _{0}^{t}i(\tau )\,d\tau =U_{0}}$.

Tuto rovnici je nutné derivovat podle času t, dostáváme rovnici druhého řádu:

${\displaystyle L{\frac {d^{2}i(t)}{dt^{2}}}+{\frac {1}{C}}i(t)=0\,\,\,\,\,}$ tj. ${\displaystyle i(t)=i(0)\cos \omega _{0}t\,\,\,\,\,}$ - pro ${\displaystyle U_{0}=0}$

kde ${\displaystyle \omega _{0}={1 \over \surd LC}}$ představuje rezonanční úhlovou frekvenci netlumeného kmitání.

RLC obvod

RLC obvod

RLC obvod je tvořen zdrojem stejnosměrného elektrického napětí a sériovým zapojením ideálního rezistoru (odporu), ideální cívky (indukčnosti) a ideálního kondenzátoru (kapacity) a je modelován rovnicí (2.Kirchhoffův zákon):

${\displaystyle L{\frac {di(t)}{dt}}+R\,i(t)+{\frac {1}{C}}\int \limits _{0}^{t}i(\tau )\,d\tau =U_{0}}$.

Tuto rovnici je nutné derivovat podle času t, dostáváme rovnici druhého řádu:

${\displaystyle L{\frac {d^{2}i(t)}{dt^{2}}}+R{\frac {di(t)}{dt}}+{\frac {1}{C}}i(t)=0\,\,\,\,\,}$ tj. ${\displaystyle i(t)=i(0)\,e^{-\alpha t}\cos \omega t\,\,\,\,\,}$ - pro ${\displaystyle U_{0}=0}$ a ${\displaystyle R\rightarrow 0}$

a kde ${\displaystyle \omega ={\sqrt {{1 \over LC}-{\frac {R^{2}}{4L^{2}}}}}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\alpha ^{2}}}}$ pro ${\displaystyle \omega _{0}^{2}>\alpha ^{2}}$ představuje úhlovou frekvenci tlumeného kmitání.

Charakteristická rovnice výše uvedené homogenní diferenciální rovnice je ve tvaru:

${\displaystyle \lambda ^{2}+{\frac {R}{L}}\lambda +{\frac {1}{LC}}=0\,\,\,\,\,}$ tj. ${\displaystyle \lambda _{1,2}=-{\frac {R}{2L}}\pm {\sqrt {{\frac {R^{2}}{4L^{2}}}-{\frac {1}{LC}}}}}$

a pro diskriminant uvedené kvadratické rovnice platí:

${\displaystyle D>0}$ - řešením jsou dva různé reálné kořeny ${\displaystyle \lambda _{1}}$ a ${\displaystyle \lambda _{2}}$ a děj je aperiodický

${\displaystyle D=0}$ - řešením jsou dva shodné reálné kořeny ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}}$ a děj je na mezi periodicity

${\displaystyle D<0}$ - řešením jsou dva kořeny komplexně sdružené a děj je periodický (viz řešení výše uvedené diferenciální rovnice).

RLC obvod (střídavý)

RLC obvod (střídavý)

RLC obvod je tvořen zdrojem střídavého elektrického napětí a sériovým zapojením ideálního rezistoru, ideální cívky a ideálního kondenzátoru a je modelován rovnicí (2.Kirchhoffův zákon):

${\displaystyle L{\frac {di(t)}{dt}}+R\,i(t)+{\frac {1}{C}}\int \limits _{0}^{t}i(\tau )\,d\tau =U_{0}e^{j\omega t}}$.

Tuto rovnici je nutné derivovat podle času t, dostáváme rovnici druhého řádu:

${\displaystyle L{\frac {d^{2}i(t)}{dt^{2}}}+R{\frac {di(t)}{dt}}+{\frac {1}{C}}i(t)=j\omega U_{0}e^{j\omega t}}$

a kde ${\displaystyle \omega }$ představuje úhlovou frekvenci kmitání střídavého napětí.

Řešení výše uvedené rovnice ve tvaru:

${\displaystyle i(t)=I_{0}e^{j\omega t}\,\,\,\,\,}$ tj. ${\displaystyle {\frac {di(t)}{dt}}=j\omega I_{0}e^{j\omega t}\,\,\,\,\,}$ tj. ${\displaystyle {\frac {d^{2}i(t)}{dt^{2}}}=-\omega ^{2}I_{0}e^{j\omega t}}$

dosaďme do výše uvedené rovnice, pak dostaneme:

${\displaystyle (-\omega ^{2}L\,I_{0}+j\omega R\,I_{0}+{\frac {1}{C}}\,I_{0})=j\omega U_{0}\,\,\,\,\,}$ tj. ${\displaystyle I_{0}\,(R+j(\omega L-{\frac {1}{\omega C}}))=U_{0}\,\,\,\,\,}$ tj. ${\displaystyle I_{0}\,Z=U_{0}}$.

Související články

• Rezonanční obvod
• Elektrický obvod
• Elektrický zkrat

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu přechodové jevy na Wikimedia Commons
• Sériový RLC obvod (anglicky)
• Sériový RLC obvod (anglicky) Archivováno 23. 9. 2022 na Wayback Machine.
• Miloš Křivan: Matematický model elektrické sı́tě