Úhlová frekvence

Úhlová frekvence, též úhlový kmitočet či pulsatance (z angl.)^[1] (dříve též kruhová frekvence, kruhový kmitočet), je skalární fyzikální veličina používaná pro popis periodických, zpravidla harmonických dějů. Rozdílnou veličinou je úhlová rychlost.

Značení a jednotky

Doporučená značka: ${\displaystyle \omega \,}$(omega)

Jednotka v SI: reciproká sekunda (s⁻¹), případně radián za sekundu (rad·s⁻¹)^{[pozn. 1]}

Definice

Úhlová frekvence je fyzikální podstatou změna fáze za jednotku času:

${\displaystyle \omega ={\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} t}}={\frac {\Delta \varphi }{\Delta t}}\,}$ (platí pro libovolně velký interval ${\displaystyle \Delta t\,}$)

Veličina je příbuzná k veličinám perioda (${\displaystyle T\,}$) a frekvence (${\displaystyle f\,}$). Vzájemný vztah k těmto veličinám je v aktuálních normách definičním vztahem úhlové frekvence:^[1]

${\displaystyle \omega ={{2\pi } \over T}={2\pi f}\,}$

Úhlový kmitočet ${\displaystyle 2\pi }$ s⁻¹ má kmitající objekt, jehož 1 kmit proběhne za 1 sekundu, tj. doba periody T = 1 s, jinak řečeno fáze periodického děje se změní o ${\displaystyle 2\pi }$ (rad) resp. 360° za 1 sekundu.

Příklady použití

Např. ve vztazích pro okamžitou hodnotu harmonických periodických dějů - např.

• okamžitá výchylka kmitavého pohybu

${\displaystyle y=y_{m}\,\sin(\omega t+\varphi _{0})}$

• okamžitá hodnota střídavého proudu

${\displaystyle i=I_{m}\,\sin(\omega t+\varphi _{0})}$

Souvislost s úhlovou rychlostí

Někdy je tato veličina nesprávně zaměňována s úhlovou rychlostí, má však rozdílnou fyzikální povahu a v případech, ve kterých má smysl hovořit současně o obou veličinách, se mohou vzájemně lišit i číselnou hodnotou.

• Úhlová frekvence (s⁻¹) je vždy skalární veličina a zavádí se pro libovolné periodické děje (nemusí souviset s žádným úhlem).
• Úhlovou rychlost (rad·s⁻¹) lze zavést jako axiální vektor a přímo souvisí s úhlem otočení, jak naznačuje jednotka. Často se používá pouze její průmět do osy rotace, což je skalární veličina.

V případě periodického pohybu po kružnici má smysl hovořit jak o úhlové rychlosti, tak o úhlové frekvenci. U rovnoměrného pohybu jsou tyto veličiny číselně rovny (je-li úhlová rychlost vzatá jako skalár). Stejná situace je u všech harmonických průběhů, ať je jejich souvislost s rovnoměrným otáčením fyzikální (např. průběh průmětu magnetické indukce u otáčivého magnetického pole v elektrických strojích), nebo formální (při zobrazování veličin harmonických dějů fázorovými diagramy, ve kterých je fáze zobrazena jako úhel a fázory se tedy otáčejí úhlovou rychlostí rovnou úhlové frekvenci).

Rozdíl se však projeví u nerovnoměrného (ale stále periodického) pohybu po kružnici (a obecně u neharmonických periodických průběhů). Jako příklad může sloužit pohyb gondoly visutých houpaček umožňujících přetočení. Při přetáčení se dosáhne periodického pohybu po kružnici, který je u vrcholu dráhy pomalejší než v dolní části. Velikost okamžité hodnoty úhlové rychlosti se tedy v průběhu periody mění. Fáze je naopak z definice přímo úměrná času, hodnota úhlové frekvence je proto konstantní a (až na dva okamžiky za periodu) neodpovídá okamžité hodnotě úhlové rychlosti, tedy skutečně uraženým úhlovým radiánům za jednotku času. Proto je také v tomto případě nevhodná jednotka rad·s⁻¹, normou připouštěná pro úhlovou frekvenci, protože vyvolává zavádějící představu.

Poznámky

1. Mezinárodní norma pro veličiny a jednotky i jejich česká národní verze - ČSN ISO/IEC 80000-3 (i její předchůdkyně ČSN ISO 31-2) uvádějí jako rovnocennou k reciproké sekundě i (poněkud zastaralou) jednotku rad·s⁻¹, která pochází z doby, kdy ještě nebyly v technické praxi důsledně rozlišovány úhlová frekvence a úhlová rychlost, třebaže se úhlová frekvence používá i pro periodické děje s otáčením nesouvisející a jednotka radián se nepoužívá pro fázi. Jednotka rad·s⁻¹ však může být názornější při zobrazování veličin harmonických dějů fázorovými diagramy, ve kterých je fáze zobrazena jako úhel. V současné školské fyzice se však upřednostňuje fyzikální podstata veličiny a doporučuje se jednotka s⁻¹ (viz např. internetová příručka FyzWeb.cz Katedry didaktiky fyziky MFF UK^[2] či studijní materiál vydaný v rámci řešení projektu Evropského sociálního fondu a Ministerstva školství, mládeže a tělovýchovy České republiky Modularizace a modernizace studijního programu počáteční přípravy učitele fyziky^[3]). Příručka SI v 9. vydání z roku 2019 uvádí pouze jednotku radián za sekundu. (Doporučení [is recommended, tedy nikoli závazný požadavek] nepoužívat s⁻¹, ale pouze rad/s u úhlové frekvence a pouze Hz u frekvence, nezdůvodňuje fyzikálně, ale možnou záměnou kvůli běžnému, ale nesprávnému označování úhlové frekvence zkráceným „frekvence“.)^[4]
   Je však nesprávné a nevhodné používat pro úhlovou frekvenci jednotku hertz, vyhrazenou pro frekvenci, i když se s tím lze v technické praxi běžně setkat.

Reference

1. ČSN ISO/IEC 80000-3 (2007) Veličiny a jednotky, část 3: Prostor a čas
2. HOROVÁ, Zuzana. Mechanické kmity. S. 4. FyzWeb.cz [online]. Katedra didaktiky fyziky MFF UK v Praze [cit. 2024-12-10]. S. 4. pdf. ISSN 1803-4179. 
3. Mechanické kmitání a vlnění [online]. 1. vyd. Univerzita Palackého v Olomouci, 2012 [cit. 2024-12-10]. S. 6. pdf. ISBN 978-80-244-3295-3. 
4. BIPM. The International System of Units (SI) [online]. 9. vyd. 2019 [cit. 2024-12-10]. S. 139‒140. pdf. ISBN 978-92-822-2272-0. (anglicky) 

Literatura

• Úhlová frekvence a úhlová rychlost na fyzweb.cz pdf