Postup narýsování pravidelného šestiúhelníku Eukleidovskou konstrukcí
Eukleidovská konstrukce neboli konstrukce pomocí kružítka a pravítka označuje konstrukci geometrických objektů (například úhlů) pouze pomocí idealizovaného pravítka a kružítka.
O pravítku se předpokládá, že má nekonečnou délku, jen jednu hranu a žádné značky pro měření, o kružítku se předpokládá, že může nakreslit jakkoli velikou kružnici.
Tento pojem se vyskytuje především v zadání matematických úloh. Úkolem bývá určit, zda z daného objektu je možné pomocí Eukleidovské konstrukce vytvořit jiný objekt, který má dané vlastnosti. Příkladem jsou klasické řecké úlohy trisekce úhlu, kvadratura kruhu a duplikace krychle. Lze dokázat, že ani jednu z těchto úloh pomocí Eukleidovské konstrukce vyřešit nelze.
Základní konstrukce
Základní konstrukce
Každá Eukleidovská konstrukce se skládá z opakování pěti základních konstrukcí s pomocí bodů, úseček a kružnic, které byly vytvořeny již v předchozích krocích. Celkový počet kroků musí být konečný. Mezi základní konstrukce patří
Vytvoření úsečky protínající dva body
Vytvoření kružnice se středem v jednom bodě tak, aby protínala druhý bod
Vytvoření bodu, který leží v průsečíku dvou protínajících se úseček
Vytvoření jednoho nebo dvou bodů ležících v průsečíku kružnice a úsečky (pokud se protínají).
Vytvoření jednoho nebo dvou bodů ležících v průsečíku dvou kružnic (pokud se protínají)
Například rovnostranný trojúhelník lze vytvořit ze dvou různých bodů A a B následujícím postupem.
Vytvoříme úsečku protínající body A a B
Vytvoříme dvě kružnice, jednu se středem v bodě A protínající B, druhou se středem v bodě B protínající A.
Vytvoříme dva body (C a D) v průsečíku obou kružnic
Vytvoříme dvě úsečky, jednu protínající A a C, druhou protínající B a C
Výsledkem je rovnostranný trojúhelník s vrcholy A, B a C.
Konstruovatelná čísla
Eukleidovskou konstrukcí lze následovně vytvořit osy souřadnic: Mějme dva body A a B. Vytvořením přímky protínající A a B získáme osu x s nulou v bodě A a jednotkou v bodě B. Spuštěním kolmice (ta je také konstruovatelná) v bodě A vytvoříme osu y. Vytvoříme kružnici se středem v A protínající B a v průsečíku s osou y získáme jednotku i na druhé ose.
Bodům (x,y) v tomto Eukleidovském prostoru lze přiřadit komplexní číslax + yi. Bod (x,y) je konstruovatelný, pokud ho lze Eukleidovskou konstrukcí vytvořit pouze z počátečních bodů A a B.
Lze ukázat, že takto lze zkonstruovat všechny body x + yi pro racionálníx a y. Zároveň lze pro každá konstruovatelná a a b zkonstruovat a + b, a – b, a × b a a / b. Konstruovatelná čísla tedy tvoří těleso, které je podtělesem komplexních čísel. Navíc platí, že pro každé konstruovatelné a lze zkonstruovat i . Všechna konstruovatelná čísla jsou algebraická, proto není konstruovatelné žádné transcendentní číslo jako např. a proto není možná kvadratura kruhu.
Konstruovatelné úhly
Lze dokázat, že existuje bijekce mezi konstruovatelnými úhly a body konstruovatelnými na konstruovatelných kružnicích. Konstruovatelné úhly tvoří
komutativní grupu se sčítánímmodulo 2π. Úhel je konstruovatelný právě když číslo odpovídající jeho tangensu (nebo ekvivalentně i sinu a kosinu) je konstruovatelné. Například pravidelný sedmnáctiúhelník je konstruovatelný, protože
Některé pravidelné mnohoúhelníky lze Eukleidovskou konstrukcí vytvořit jednoduše, jiné ne. To vedlo k otázce, zda lze takto vytvořit všechny mnohoúhelníky. Carl Friedrich Gauss v roce 1796 ukázal, že pravidelný n-úhelník lze Eukleidovskou konstrukcí vytvořit, pokud liché dělitele n jsou různá Fermatova prvočísla. Gauss se správně domníval, že tato podmínka je nejen nutná, ale i postačující, ale dokázat se to podařilo až Pierru Wantzelovi v roce 1837.
Konstrukce pěti a desetiúhelníku:
1.úsečka A,B se středem S.
2.kružnice k o poloměru AS.
3.Na AS bod O tak, že AO=OS
4.bodem S kolmici na AB, v průsečíku k s kolmicí pak body C a D
5.z O kružnicí o poloměru OC protnout SB a průsečík označit E.
6.úsečka CE je strana pětiúhelníku a SE desetiúhelníku.
Literatura
HEATH, Thomas. The Thirteen Books of Euclid's Elements. New York: Dover Publications, 1956. Dostupné online.
