Imaginární jednotka

Imaginární jednotka na číselné ose.

Jako imaginární jednotka se v matematice označuje číslo značené ${\displaystyle \mathrm {i} }$ (někdy též ${\displaystyle \mathrm {j} }$ nebo 𝕚), které rozšiřuje obor reálných čísel ℝ na obor čísel komplexních ℂ. Po tomto rozšíření existuje řešení libovolné polynomiální rovnice f(x) = 0.

V reálných číslech některé takové rovnice řešení nemají, konkrétně např. rovnice x² + 1 = 0. Pokud je k množině reálných čísel přidán nový prvek ${\displaystyle \mathrm {i} }$, který tuto rovnici řeší, algebraickým uzávěrem takto vzniklé množiny je právě množina komplexních čísel, ve kterých má řešení už každá polynomiální rovnice.

V oboru elektrotechniky je často imaginární jednotka označována jako ${\displaystyle \mathrm {j} }$ místo ${\displaystyle \mathrm {i} }$, protože ${\displaystyle \mathrm {i} }$ se běžně používá pro označení okamžité hodnoty elektrického proudu.

Definice

Podle definice imaginární jednotka ${\displaystyle \mathrm {i} }$ je řešením rovnice

x² = −1

Operace s reálnými čísly lze rozšířit na imaginární a komplexní čísla tak, že při manipulaci s výrazem zacházíme s ${\displaystyle \mathrm {i} }$ jako s neznámou veličinou a použijeme tuto definici k tomu, abychom nahradili všechny výskyty ${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}}$ číslem −1.

i a −i

Výše uvedená rovnice má ve skutečnosti dvě různá řešení která jsou aditivně inverzní. Přesněji, pokud řekneme, že řešením rovnice je ${\displaystyle \mathrm {i} }$, je také řešením této rovnice ${\displaystyle -\mathrm {i} }$   ${\displaystyle (\neq \mathrm {i} )}$. Protože výše uvedená rovnice je jedinou definicí ${\displaystyle \mathrm {i} }$, je zřejmé, že tato definice je nejednoznačná. Tuto nejednoznačnost odstraníme tak, že vybereme a zafixujeme jako řešení výše uvedené rovnice „pozitivní ${\displaystyle \mathrm {i} }$“.

Značení odmocninou

Imaginární jednotka se někdy zapisuje jako ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$. Toto značení není zcela formálně korektní, protože komplexní čísla nemají na rozdíl od reálných úplné uspořádání, a tudíž nelze takovou odmocninu definovat jednoznačně. Nicméně i přesto se používá, protože intuitivně odpovídá postupu řešení kvadratické rovnice se záporným diskriminantem. Je třeba dát pozor při manipulaci s těmito odmocninami: Při aplikaci pravidel platících pro odmocniny z kladných reálných čísel na celý obor reálných čísel můžeme dostat špatný výsledek:

${\displaystyle -1=\mathrm {i} \cdot \mathrm {i} ={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\neq {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1}$

Kalkulační pravidlo

${\displaystyle {\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}}}$

je v oboru reálných čísel platné, pokud a ≥ 0 nebo b ≥ 0. Nemůžeme ho tedy použít, pokud jsou obě čísla záporná. Můžeme ho však použít pro výpočet odmocniny ze záporného čísla, např. druhou odmocninu z čísla -4 vypočteme jako:

${\displaystyle {\sqrt {-4}}={\sqrt {4\cdot (-1)}}={\sqrt {4}}\cdot {\sqrt {-1}}=2\mathrm {i} }$

Abychom se vyhnuli chybám při manipulaci s komplexními čísly, je lépe nepoužívat záporná čísla pod odmocninou.

Mocniny i

Mocniny ${\displaystyle \mathrm {i} }$ se cyklicky opakují:

${\displaystyle \mathrm {i} ^{0}=1}$

${\displaystyle \mathrm {i} ^{1}=\mathrm {i} }$

${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}$

${\displaystyle \mathrm {i} ^{3}=-\mathrm {i} }$

${\displaystyle \mathrm {i} ^{4}=1}$

${\displaystyle \mathrm {i} ^{5}=\mathrm {i} }$

${\displaystyle \mathrm {i} ^{6}=-1}$

To lze vyjádřit matematickým vzorcem, kde n je libovolné celé číslo:

${\displaystyle \mathrm {i} ^{4n}=1}$

${\displaystyle \mathrm {i} ^{4n+1}=\mathrm {i} }$

${\displaystyle \mathrm {i} ^{4n+2}=-1}$

${\displaystyle \mathrm {i} ^{4n+3}=-\mathrm {i} }$

i a Eulerův vzorec

Vezmeme Eulerův vzorec ${\displaystyle e^{\mathrm {i} x}=\cos x+\mathrm {i} \sin x}$, a dosazením ${\displaystyle \pi /2}$ za ${\displaystyle x}$ dostaneme

${\displaystyle e^{\mathrm {i} \pi /2}=\mathrm {i} }$

Jestliže obě strany umocníme na ${\displaystyle \mathrm {i} }$, a využijeme ${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}$, získáme následující rovnost:

${\displaystyle \mathrm {i} ^{\mathrm {i} }=e^{-\pi /2}=0{,}207\,875\,763\dots }$

Ve skutečnosti je snadné určit, že ${\displaystyle \mathrm {i} ^{\mathrm {i} }}$ má nekonečný počet řešení ve tvaru

${\displaystyle \mathrm {i} ^{\mathrm {i} }=e^{-\pi /2+2\pi N}}$

Z Eulerova vzorce lze dosazením ${\displaystyle \pi }$ za ${\displaystyle x}$ odvodit Eulerovu identitu

${\displaystyle e^{\mathrm {i} \pi }+1=0}$.

V Gaussově rovině imaginární jednotku představuje číslo [0;1].

Každé komplexní číslo lze zapsat (v tzv. algebraickém tvaru) ve tvaru ${\displaystyle a+\mathrm {i} b}$, kde ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle b}$ jsou reálná čísla.

Odkazy

Související články

• Komplexní číslo
• Komplexní jednotka
• Hyperkomplexní číslo

Externí odkazy

• Imaginární jednotka v encyklopedii MathWorld (anglicky)

Portály: Matematika