Booleova algebra

George Boole 1879

Booleova algebra je algebraická struktura se dvěma binárními a jednou unární operací, která zobecňuje vlastnosti množinových a logických operací. Je nazvána podle britského matematika George Boolea. Mimo oblast algebry se pojem Booleova algebra zužuje na dvouprvkovou Booleovu algebru^[1] a používá se pro reprezentaci pravdivostních hodnot a logických funkcí. Klíčový význam mají Booleovy algebry také pro metodu forsingu.

Formální definice

Booleova algebra je definována jako distributivní komplementární svaz.^[2]

Jinou ekvivalentní definicí je následující. Booleova algebra je šestice (A, ∧, ∨, −, 0, 1), kde A je neprázdná množina, 0 ∈ A je nejmenší, 1 ∈ A největší prvek, − je unární operace (doplněk neboli komplement) a ∧, ∨ jsou binární operace (průsek a spojení) na A, splňující následující axiomy.

Komutativita:	${\displaystyle x\lor y=y\lor x}$	${\displaystyle x\land y=y\land x}$
Distributivita:	${\displaystyle x\lor (y\land z)=(x\lor y)\land (x\lor z)}$	${\displaystyle x\land (y\lor z)=(x\land y)\lor (x\land z)}$
Neutralita 0 a 1:	${\displaystyle x\lor 0=x}$	${\displaystyle x\land 1=x}$
Komplementarita:	${\displaystyle x\lor -x=1}$	${\displaystyle x\land -x=0}$

Někdy se uvádí ještě axiom nedegenerovanosti: ${\displaystyle 0\neq 1}$. Při jeho zavedení pak triviální svaz tvořený jednoprvkovou množinou není Booleovou algebrou.

Vlastnosti

Pro Booleovu algebru A a každé x, y, z ∈ A platí:

• asociativita: (x ∨ y) ∨ z = x ∨ (y ∨ z), (x ∧ y) ∧ z = x ∧ (y ∧ z)
• absorpce: x ∨ (x ∧ y) = x, x ∧ (x ∨ y) = x
• agresivita nuly: x ∧ 0 = 0
• agresivita jedničky: x ∨ 1 = 1
• idempotence: x ∨ x = x, x ∧ x = x
• absorpce negace: x ∨ (−x ∧ y) = x ∨ y, x ∧ (−x ∨ y) = x ∧ y
• dvojitá negace: −(−x) = x
• De Morganovy zákony: −x ∧ −y = −(x ∨ y), −x ∨ −y = −(x ∧ y)
• 0 a 1 jsou vzájemně komplementární: −0 = 1, −1 = 0

Příklady

Booleovy algebry musí splňovat více axiomů, než svazy, a proto je jejich struktura jednotnější. Například každá konečná Booleova algebra má ${\displaystyle 2^{n}}$ prvků pro nějaké ${\displaystyle n>0}$ a je izomorfní s direktním součinem ${\displaystyle n}$ dvouprvkových Booleových algeber.

Dvouprvková algebra

Dvouprvková algebra je algebra nad množinou A = {0, 1}, kde operace jsou dány přirozeným způsobem, tj. 0 a 1 jsou vzájemně komplementární a protože platí 0 < 1, průsek (infimum) je menší z operandů, spojení (supremum) je větší z operandů:

${\displaystyle x}$	${\displaystyle y}$	${\displaystyle x\lor y}$	${\displaystyle x\land y}$
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	1	1

Nejjednodušší Booleova algebra obsahuje pouze jeden prvek, neboli 0 = 1 (zde nejde o spor, nýbrž o dvojí značení jednoho prvku). Všechny operace dávají stejný výsledek (jiné zde ani neexistují), proto se nazývá triviální. Tato algebra samozřejmě může existovat jedině tehdy, když nepoužijeme axiom nedegenerovanosti.

Množinové (potenční) algebry

U množinových algeber je algebra definována nad množinou všech podmnožin (potenční množinou) libovolné množiny S, tzn. A = 2^S, nejmenším prvkem 0 je prázdná množina, největším prvkem 1 je celá množina S a operace odpovídají průniku, sjednocení a doplňku do množiny S.

Atomární a bezatomární algebry

Nekonečné Booleovy algebry mohou být atomární, kdy pod každým nenulovým prvkem ${\displaystyle x}$ je atom ${\displaystyle a}$; atom je prvek, pod kterým již nic neleží, tj. neexistuje ${\displaystyle y}$ takové, že ${\displaystyle 0\prec y\prec a}$. Existují naopak bezatomární algebry, které nemají žádné atomy. Příkladem bezatomárních algeber jsou husté Booleovy algebry, v nichž pro každé ${\displaystyle a\prec b}$ existuje ${\displaystyle x}$ takové, že ${\displaystyle a\prec x\prec b}$.

Poznámka: Jako v každém svazu se používá symbol ${\displaystyle a\preceq b}$ pro ${\displaystyle a\land b=a}$ (nebo ekvivalentně ${\displaystyle a\lor b=b}$) a symbol ${\displaystyle a\prec b}$ pro ostré uspořádání, tj. relaci „${\displaystyle a\preceq b}$ a zároveň ${\displaystyle a\neq b}$“.

Algebry výroků

Prakticky používanými příklady Booleových algeber jsou algebry výroků (či obecněji Lindenbaumovy algebry formulí) a množinové algebry.

• U algeber výroků v dvouhodnotové logice je A = {nepravda, pravda} a operace odpovídají konjunkci, disjunkci a negaci; pokud ztotožníme 0 = nepravda, 1 = pravda, algebra přejde na výše uvedenou dvouprvkovou algebru nad množinou A = {0, 1}
• Lindenbaumovy algebry jsou definovány nad množinou A všech tříd ekvivalence formulí daného jazyka a operace jsou stejné jako u algeber výroků.

Odkazy

Reference

1. Aplikovaná matematika, s. 187.
2. Aplikovaná matematika, s. 184.

Literatura

• kolektiv autorů, 1977. Aplikovaná matematika. Redakce Kutinová, Blanka; Nečas, Jiří. Praha: SNTL – Nakladatelství technické literatury, n.p.. 1318 s. (Oborové encyklopedie). 
• ROBERT, Faure; HEURGONOVÁ, Edith. Uspořádání a Booleovy algebry. Praha: Academia, 1984. 

Související články

• Booleova logika
• Forsing
• De Morganovy zákony

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Booleova algebra na Wikimedia Commons