Teoria de la representació

La teoria de la representació estudia com les estructures algebraiques "actuen" sobre els objectes. Un exemple senzill és com les simetries de polígons regulars, que consisteixen en reflexions i rotacions, transformen el polígon.

La teoria de la representació és una branca de les matemàtiques que estudia les estructures algebraiques abstractes representant els seus elements com a transformacions lineals d'espais vectorials^[1] i estudia mòduls sobre aquestes estructures algebraiques abstractes.^[2][3] En essència, una representació fa més concret un objecte algebraic abstracte descrivint els seus elements per matrius i les seves operacions algebraiques (per exemple, suma de matrius, multiplicació de matriu). La teoria de les matrius i dels operadors lineals es comprenen millor i, de vegades, simplifiquen els càlculs de teories més abstractes. 

Els objectes algebraics susceptibles d'aquesta descripció inclouen grups, àlgebres associatius i àlgebres de Lie. La més destacada (i històricament la primera) és la teoria de la representació de grups, en què els elements d’un grup es representen mitjançant matrius invertibles de manera que l’operació de grup sigui la multiplicació de matrius.^[4][5]

La teoria de la representació és un mètode útil perquè redueix els problemes de l'àlgebra abstracta a problemes en l'àlgebra lineal, un tema ben entès.^[6] A més, l'espai vectorial sobre el qual es representa un grup (per exemple) pot ser infinit-dimensional i, permetent que sigui, per exemple, un espai de Hilbert, es poden aplicar mètodes d'anàlisi a la teoria de grups.^[7][8] La teoria de la representació també és important en física perquè, per exemple, descriu com el grup de simetria d’un sistema físic afecta les solucions d’equacions que descriuen aquest sistema.^[9]

La teoria de la representació és generalitzada en els camps de les matemàtiques per dos motius. En primer lloc, les aplicacions de la teoria de la representació són diverses:^[10] a més del seu impacte en l'àlgebra, la teoria de la representació:

• il·lumina i generalitza l'anàlisi de Fourier mitjançant l'anàlisi harmònica,^[11]
• està connectat a la geometria mitjançant la teoria invariant i el programa Erlangen,^[12]
• té un impacte en la teoria de nombres a través de formes automòrfiques i el programa Langlands.^[13]

En segon lloc, hi ha diversos enfocaments de la teoria de la representació. Els mateixos objectes es poden estudiar mitjançant mètodes de geometria algebraica, teoria de mòduls, teoria de nombres analítics, geometria diferencial, teoria d'operadors, combinatòria algebraica i topologia.^[14]

L’èxit de la teoria de la representació ha provocat nombroses generalitzacions. Una de les més generals és la teoria de categories.^[15] Els objectes algebraics als quals s'aplica la teoria de la representació es poden veure com a tipus particulars de categories, i les representacions com a functors des de la categoria d'objectes fins a la categoria d'espais vectorials.^[5] Aquesta descripció apunta a dues generalitzacions òbvies: primer, els objectes algebraics es poden substituir per categories més generals; en segon lloc, la categoria objectiu dels espais vectorials es pot substituir per altres categories ben enteses.

Definicions i conceptes

Sigui V un espai vectorial en el cos F.^[6] Per exemple, suposant que V és Rⁿ o Cⁿ, l'espai n-dimensional estàndard de vectors columna en els nombres reals o complexos, respectivament. En aquest cas, la idea de la teoria de la representació és fer concreta l'àlgebra abstracta usant n &veces; n matrius de nombres reals o complexos.

Existeixen tres tipus d'objectes algebraics sobre els quals es pot realitzar això: grup, àlgebres associatives i àlgebres de Lie.^[16][5]

• El conjunt de totes les n matrius invertibles n ${\displaystyle \times }$ n és un grup respecte la multiplicació de matrius, i la teoria de representació de grups analitza un grup mitjançant la descripció ("representació") dels seus elements en funció de les seves matrius invertibles.
• La suma i la multiplicació de matrius formen un grup de totes les n matrius n vegades en una àlgebra associativa, i per tant existeix una teoria de representació d'àlgebres associatives corresponent.

• Si se substitueix la multiplicació de matrius MN pel Commutador de matrius MN − NM, llavors les n &veces; n matrius es converteixen en una àlgebra de Lie, que dona lloc a una representació d'àlgebres de Lie.

Això és generalitzable a tot camp F i a tot espai vectorial V en F, amb mapes lineals substituint les matrius i la composició de funcions substituint la multiplicació de matrius: existeix un grup GL(V,F) de automorfismes de V, una àlgebra associativa End_F(V) de tots els endomorfismes de V, i una àlgebra de Lie corresponent gl(V,F).

Referències

1. «The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Mathematical Representation» (en anglès americà). Math Vault, 01-08-2019. Arxivat de l'original el 2020-02-28. [Consulta: 9 desembre 2019].
2. Classic texts on representation theory include Curtis & Reiner (1962) and Serre (1977). Other excellent sources are Fulton & Harris (1991) and Goodman & Wallach (1998)
3. «representation theory in nLab». ncatlab.org. Arxivat de l'original el 2023-03-25. [Consulta: 9 desembre 2019].
4. Lam (1998)Borel (2001)
5. Etingof, Pavel. «Introduction to representation theory». www-math.mit.edu, 10-01-2011. Arxivat de l'original el 2021-05-06. [Consulta: 9 desembre 2019].
6. Hi ha molts llibres de text sobre espais vectorials i àlgebra lineal. Per a un tractament avançat, vegeu Kostrikin & Manin (1997)
7. Sally & Vogan 1989
8. Teleman, Constantin. «Representation Theory». math.berkeley.edu, 2005. Arxivat de l'original el 2023-03-23. [Consulta: 9 desembre 2019].
9. Sternberg 1994
10. Lam 1998, p. 372
11. Folland 1995
12. Goodman & Wallach 1998, Olver 1999, Sharpe 1997
13. Borel & Casselman 1979, Gelbart 1984
14. See the previous footnotes and also Borel (2001)
15. Simson, Skowronski & Assem 2007
16. Fulton & Harris 1991, Simson, Skowronski & Assem 2007, Humphreys 1972a

Bibliografia

• Alperin, J. L.. Local Representation Theory: Modular Representations as an Introduction to the Local Representation Theory of Finite Groups. Cambridge University Press, 1986. ISBN 978-0-521-44926-7. .
• Bargmann, V. «Irreducible unitary representations of the Lorenz group». Annals of Mathematics, 48, 3, 1947, p. 568–640. DOI: 10.2307/1969129..
• Borel, Armand. Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups. American Mathematical Society, 2001. ISBN 978-0-8218-0288-5. .
• Borel, Armand; Casselman, W. Automorphic Forms, Representations, and L-functions. American Mathematical Society, 1979. ISBN 978-0-8218-1435-2. .
• Curtis, Charles W.; Reiner, Irving. Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras. John Wiley & Sons (Reedition 2006 by AMS Bookstore), 1962. ISBN 978-0-470-18975-7. .
• Gelbart, Stephen «An Elementary Introduction to the Langlands Program». Bulletin of the American Mathematical Society, 10, 2, 1984, p. 177–219. DOI: 10.1090/S0273-0979-1984-15237-6..
• Folland, Gerald B. A Course in Abstract Harmonic Analysis. CRC Press, 1995. ISBN 978-0-8493-8490-5. .
• Fulton, William; Harris, Joe. Representation theory. A first course. 129. Nova York: Springer-Verlag, 1991. MR 1153249, ISBN 978-0-387-97527-6. ISBN 978-0-387-97495-8. .
• Goodman, Roe; Wallach, Nolan R. Representations and Invariants of the Classical Groups. Cambridge University Press, 1998. ISBN 978-0-521-66348-9. .
• James, Gordon; Liebeck, Martin. Representations and Characters of Finite Groups. Cambridge: Cambridge University Press, 1993. ISBN 978-0-521-44590-0. .
• Hall, Brian C. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction. 222. 2a edició. Springer, 2015. ISBN 978-3319134666. 
• Helgason, Sigurdur. Differential Geometry, Lie groups and Symmetric Spaces. Academic Press, 1978. ISBN 978-0-12-338460-7. 
• Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Birkhäuser, 1972a. ISBN 978-0-387-90053-7. .
• Humphreys, James E. Linear Algebraic Groups. 21. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1972b. ISBN 978-0-387-90108-4. 
• Jantzen, Jens Carsten. Representations of Algebraic Groups. American Mathematical Society, 2003. ISBN 978-0-8218-3527-2. .
• Kac, Victor G. «Lie superalgebras». Advances in Mathematics, 26, 1, 1977, p. 8–96. DOI: 10.1016/0001-8708(77)90017-2..
• Kac, Victor G. Infinite Dimensional Lie Algebras. 3rd. Cambridge University Press, 1990. ISBN 978-0-521-46693-6. .
• Knapp, Anthony W. Representation Theory of Semisimple Groups: An Overview Based on Examples. Princeton University Press, 2001. ISBN 978-0-691-09089-4. .
• Kim, Shoon Kyung. Group Theoretical Methods and Applications to Molecules and Crystals: And Applications to Molecules and Crystals. Cambridge University Press, 1999. ISBN 978-0-521-64062-6. .
• Kostrikin, A. I.; Manin, Yuri I. Linear Algebra and Geometry. Taylor & Francis, 1997. ISBN 978-90-5699-049-7. .
• Lam, T. Y. «Representations of finite groups: a hundred years». Notices of the AMS, 45, 3,4, 1998, p. 361–372 (Part I), 465–474 (Part II)..
• Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.
• Mumford, David; Fogarty, J.; Kirwan, F. Geometric invariant theory. 34. 3rd. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1994. ISBN 978-3-540-56963-3. ; MR 0719371 (2nd ed.); MR 1304906(3rd ed.)
• Olver, Peter J. Classical invariant theory. Cambridge: Cambridge University Press, 1999. ISBN 978-0-521-55821-1. .
• Peter, F.; Weyl, Hermann «Còpia arxivada». Mathematische Annalen, 97, 1, 1927, p. 737–755. Arxivat de l'original el 2014-08-19. DOI: 10.1007/BF01447892 [Consulta: 14 octubre 2021]..
• Pontrjagin, Lev S. «The theory of topological commutative groups». Annals of Mathematics, 35, 2, 1934, p. 361–388. DOI: 10.2307/1968438..
• Sally, Paul; Vogan, David A. Representation Theory and Harmonic Analysis on Semisimple Lie Groups. American Mathematical Society, 1989. ISBN 978-0-8218-1526-7. .
• Serre, Jean-Pierre. Linear Representations of Finite Groups. Springer-Verlag, 1977. ISBN 978-0387901909. .
• Sharpe, Richard W. Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. Springer, 1997. ISBN 978-0-387-94732-7. .
• Simson, Daniel; Skowronski, Andrzej; Assem, Ibrahim. Elements of the Representation Theory of Associative Algebras. Cambridge University Press, 2007. ISBN 978-0-521-88218-7. .
• Sternberg, Shlomo. Group Theory and Physics. Cambridge University Press, 1994. ISBN 978-0-521-55885-3. .
• Tung, Wu-Ki. Group Theory in Physics. 1st. New Jersey·London·Singapore·Hong Kong: World Scientific, 1985. ISBN 978-9971966577. 
• Weyl, Hermann. Gruppentheorie und Quantenmechanik. The Theory of Groups and Quantum Mechanics, translated H.P. Robertson, 1931. S. Hirzel, Leipzig (reprinted 1950, Dover), 1928. ISBN 978-0-486-60269-1. .
• Weyl, Hermann. The Classical Groups: Their Invariants and Representations. 2a edició. Princeton University Press (reprinted 1997), 1946. ISBN 978-0-691-05756-9. .
• Wigner, Eugene P. «On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group». Annals of Mathematics, 40, 1, 1939, p. 149–204. DOI: 10.2307/1968551..