En matemàtiques, la resolvent és una tècnica que consisteix a aplicar conceptes de l'anàlisi complexa a l'estudi de l'espectre d'un operador sobre un espai de Hilbert o sobre un espai més general.
La resolvent captura les propietats espectrals d'un operador en l'estructura analítica de la resolvent. Donat un operador A, hom pot definir la resolvent com
Entre altres usos, hom pot fer servir la resolvent per resoldre equacions integrals de Fredholm no-homogènies; una aproximació és una solució en sèrie de potències, la sèrie de Liouville–Neumann.
Hom pot fer servir la resolvent de A directament per obtenir informació sobre la descomposició espectral de A. Per exemple, suposem que λ {\displaystyle \lambda } és un valor propi aïllat en l'espectre de A. És a dir, suposem que existeix una corba simple tancada C λ {\displaystyle C_{\lambda }} en el pla complex que separa λ {\displaystyle \lambda } de la resta de l'espectre de A. Llavors el residu
defineix un operador de projecció sobre el λ {\displaystyle \lambda } -espai propi de A
El teorema de Hille–Yosida estableix una relació entre la resolvent i una integral sobre el grup uniparamètric de transformacions generades per A. Així, per exemple, si A és un operador autoadjunt, llavors U ( t ) = exp ( i t A ) {\displaystyle U(t)=\exp(itA)} és un grup uniparamètric d'operadors unitaris. La resolvent es pot expressar com la integral
El primer ús que es coneix de l'operador resolvent fou Erik Ivar Fredholm el 1903, en un article publicat a Acta Mathematica, i que va ajudar a crear la teoria d'operadors moderna. El nom de resolvent fou atribuït per David Hilbert.
Per qualssevol z , w {\displaystyle z,w} de ρ ( A ) {\displaystyle \rho (A)} , el conjunt resolvent d'un operador A {\displaystyle A} , es compleix la identitat resolvent (també anomenada identitat de Hilbert):[1]
(Notem que Dunford i Schwartz defineixen la resolvent com ( z I − A ) − 1 {\displaystyle (zI-A)^{-1}} , així que la fórmula anterior és lleugerament diferent de la d'aquests autors.)
Quan hom estudia un operador no-afitat A : H → H {\displaystyle A:H\to H} sobre un espai de Hilbert H {\displaystyle H} , si existeix algun z ∈ ρ ( A ) {\displaystyle z\in \rho (A)} tal que R ( z ; A ) {\displaystyle R(z;A)} és un operador compacte, llavors diem que A {\displaystyle A} té resolvent compacta. L'espectre σ ( A ) {\displaystyle \sigma (A)} d'un tal A {\displaystyle A} és un subconjunt discret de C {\displaystyle \mathbb {C} } . Si, a més, A {\displaystyle A} és autoadjunt, llavors σ ( A ) ⊂ R {\displaystyle \sigma (A)\subset \mathbb {R} } i existeix una base ortonormal { v i } i ∈ N {\displaystyle \{v_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }} de vectors propis de A {\displaystyle A} amb valors propis { λ i } i ∈ N {\displaystyle \{\lambda _{i}\}_{i\in \mathbb {N} }} respectivament. També, { λ i } {\displaystyle \{\lambda _{i}\}} no té cap punt d'acumulació finit.[2]