La funció de Clausen d'ordre 2, sovint referida com la «funció Clausen» tot i ser una de les moltes classes, està donada per la integral:
En el rang , la funció sinus dins el signe de valor absolut segueix sent estrictament positiva, de manera que el símbol del valor absolut es pot ometre.
Quan z és reemplaçat per un nombre enter no-negatiu, les funcions estàndard de Clausen es defineixen mitjançant la següent sèrie de Fourier:
Cal notar que les funcions de Clausen de tipus SL tenen la notació alternativa i es refereixen a vegades com les funcions de Glaisher-Clausen (de James Whitbread Lee Glaisher, per tant, la notació GL).
Relació amb els polinomis de Bernoulli
Les funcions de Clausen de tipus SL són polinomials en , i estan estretament relacionades amb els polinomis de Bernoulli. Aquesta connexió es desprèn de les representacions de la sèrie de Fourier dels polinomis de Bernoulli:
Configurant en l'anterior i reordenant després els termes dona les següents expressions (polinomials) de forma tancada:
on els polinomis de Bernoulli es defineixen en funció dels nombres de Bernoulli per la relació:
Avaluacions explícites derivades dels anteriors inclouen:
Les conseqüències immediates de la fórmula de duplicació, juntament amb l'ús del valor especial , inclouen la relacions:
Per a les funcions de Clausen d'ordre superior, les fórmules de duplicació es poden obtenir de la donada anteriorment; simplement substituint amb la variable lliure i integrant en l'interval Aplicant el mateix procés produeix diverses vegades:
I més en general, amb la inducció de
L'ús generalitzat de la fórmula de duplicació permet una extensió del resultat de la funció de Clausen d'ordre 2, relacionant-la amb la constant del Catalan. Per
Les funcions de Clausen estan íntimament relacionades amb la funció poligamma. De fet, és possible expressar les funcions de Clausen com combinacions lineals de funcions de sinus i funció poligamma. Una d'aquestes relacions es mostra aquí ies demostra a continuació:
Siguin i dos nombres enters positius, tal que és un nombre racional i, a continuació, per la definició de les sèries per a la funció d'ordre superior Clausen (fins i tot d'índex):
dividim aquesta suma exactament en p parts, de manera que la primera sèrie conté tot, i només, aquests termes congruents a la segona sèrie conté tots els termes congruents a etc., fins a la part final d'ordre p, que contenen tots els termes congruents a
Podem indexar aquestes sumes per formar una suma doble:
Aplicant la fórmula d'addició per a la funció sinus,el terme sinusoidal en el numerador es converteix en:
i com a conseqüència
Per convertir la suma interior de doble suma en una suma no alterna, dividim exactament en dues parts de la mateixa manera que la suma anterior es va dividir en p parts:
Per , la funció poligamma es pot representar amb la sèrie
Per tant, en termes de la funció poligamma, la suma interior anterior es converteix en:
Afegint aquest terme entre la suma doble, dona el resultat desitjat
Relació amb la integral log-sinus generalitzada
La integral log-sinus generalitzada es defineix per:
En aquesta notació generalitzada, la funció de Clausen es pot expressar en la forma:
La funció Lobachevski (Λ o Л) és essencialment la mateixa funció amb un canvi de variable:
encara que històricament el nom de «funció de Lobachevski» no és del tot precisa, com les fórmules de Lobachevski per al volum hiperbòlic que utilitzen la funció lleugerament diferent
Relació amb sèries L de Dirichlet
Per als valors racionals de (és a dir, per a per a alguns nombres enters p i q), la funció pot ser entesa per representar una òrbita periòdica d'un element en el grup cíclic, i per tant es pot expressar com una simple suma que implica la funció zeta de Hurwitz. Això permet que les relacions entre certes sèries L de Dirichlet es puguin computar fàcilment.
Les següents integrals es demostren fàcilment a partir de les representacions de la sèrie de la funció de Clausen:
Avaluacions d'integrals que impliquen la funció directa
Un gran nombre de les integrals trigonomètriques i logaritme-trigonomètriques poden ser avaluades en termes de la funció de Clausen, i diverses constants matemàtiques comunes com (constant de Catalan), , i els casos especials de la funció zeta, i .
Els exemples que figuren a continuació són una conseqüència directa de la representació integral de la funció de Clausen, i les proves requereixen poc més de trigonometria bàsica, la integració per parts, i la integració ocasional terme a terme de les definicions de les sèrie de Fourier de les funcions de Clausen.
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann. "Chapter 27.8". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. 55 (en anglès). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards: Dover Publications, 1964, p. 1005. ISBN 978-0-486-61272-0.
Adamchik, Viktor S. Contributions to the Theory of the Barnes Function (en anglès), 2003.
Borwein, Jonathan M; Straub, Armin. Relations for Nielsen Polylogarithms (en anglès). J. Approx. Theory. 193, 2013. DOI10.1016/j.jat.2013.07.003.
Clausen, Thomas. Über die Function sin φ + (1/22) sin 2φ + (1/32) sin 3φ + etc (en alemany). Journal für die reine und angewandte Mathematik. 8, 1832, p. 298-300.ISSN 0075-4102
Kalmykov, Mikahil Yu; Sheplyakov, A. LSJK – a C++ library for arbitrary-precision numeric evaluation of the generalized log-sine integral (en anglès). Comput. Phys. Comm. 172, 2005, p. 45–59. DOI10.1016/j.cpc.2005.04.013.
Kölbig, Kurt Siegfried. Chebyshev coefficients for the Clausen function Cl2(x) (en anglès). J. Comput. Appl. Math. 64 (3), 1995, p. 295-297. DOI10.1016/0377-0427(95)00150-6.
Lewin, Leonard. Structural Properties of Polylogarithms (en anglès). Providence, RI: American Mathematical Society, 1991. ISBN 0-8218-4532-2.
This article uses bare URLs, which are uninformative and vulnerable to link rot. Please consider converting them to full citations to ensure the article remains verifiable and maintains a consistent citation style. Several templates and tools are available to assist in formatting, such as reFill (documentation) and Citation bot (documentation). (August 2022) (Learn how and when to remove this template message) Ministry of Defence of the Republic of CroatiaMinistarstvo obrane Republike Hrvatsk...
Communication method on the trading floors of stock exchanges Until 2009,[1] trades on the floor of the New York Stock Exchange always involved a face-to-face interaction. There is one podium/desk on the trading floor for each of the exchange's three thousand or so stocks. The New York stock exchange trading floor in September 1963, before the introduction of electronic readouts and computer screens Open outcry pit at the Chicago Board of Trade (CBOT) in 1993 CBOT The Pit in 1908 Open...
Voce principale: Attentati dell'11 settembre 2001. Attentato al Pentagono dell'11 settembre 2001I resti del Boeing 757 e l'edificio in fiammeTipo di eventoDirottamento aereo Data11 settembre 2001 TipoSchianto contro il lato Ovest del Pentagono LuogoIl Pentagono Stato Stati Uniti Coordinate38°52′16″N 77°03′29″W / 38.871111°N 77.058056°W38.871111; -77.058056Coordinate: 38°52′16″N 77°03′29″W / 38.871111°N 77.058056°W38.871111; -77.0580...
Australian state elections; won by Labour 1992 Queensland state election ← 1989 19 September 1992 (1992-09-19) 1995 → All 89 seats in the Legislative Assembly of Queensland45 Assembly seats were needed for a majorityTurnout91.48 ( 0.30 pp) First party Second party Third party NAT LIB Leader Wayne Goss Rob Borbidge Joan Sheldon Party Labor National Liberal Leader since 2 March 1988 (1988-03-02)[1] 11 December...
True Colors kan verwijzen naar: True Colors (band), een Nederlandse band True Colors (album van Cyndi Lauper), een album van Cyndi Lauper uit 1986 True Colors (nummer van Cyndi Lauper), de titeltrack van dit album True Colors (televisieserie), een televisieserie uit 1990 True Colors (film), een film uit 1991 True Colors (album van Zedd), een album van Zedd uit 2015 True Colors (nummer van Zedd & Kesha), de titeltrack van dit album True Colours True Colours (album van Split Enz), een album...
Museumgebouw Het Von der Heydt-Museum is het belangrijkste kunstmuseum van de Duitse stad Wuppertal in de deelstaat Noordrijn-Westfalen. Het museum is gelegen op de hoek van de Turmhof en de Wall van Wuppertal-Elberfeld. Geschiedenis De Elberfelder Museumsverein huurde in 1895 ten behoeve van een permanente tentoonstelling ruimte in het in classicistische stijl gebouwde oude Rathaus (gebouwd van 1828 tot 1831). In de jaren daarna werd zowel het oppervlak als het aantal geëxposeerde kunstobje...
Girl guide association in Bolivia Asociación de Guías Scouts de BoliviaGirl Guide Association of BoliviaCountryBoliviaFounded1958Membership390AffiliationWorld Association of Girl Guides and Girl Scouts Scouting portal The Asociación de Guías Scouts de Bolivia (AGSB, Girl Guide Association of Bolivia) is the national Guiding organization of Bolivia. It serves 390 members (as of 2006).[1] Guiding was introduced to Bolivia in 1915. Founded in 1958, the girls-only organization b...
2015 video game This article is about the video game. For the rocket aircraft racing league, see Rocket Racing League. 2015 video gameRocket LeagueDeveloper(s)Psyonix[a]Publisher(s)PsyonixDirector(s)Thomas SillowayProducer(s)Sarah HebblerDesigner(s)Corey DavisProgrammer(s)Jared ConeArtist(s)Bobby McCoinComposer(s)Mike Ault[b]EngineUnreal Engine 3Platform(s)PlayStation 4WindowsXbox OnemacOS[c]Linux[c]Nintendo SwitchRelease July 7, 2015 PlayStation 4, WindowsJuly...
First public school in the United States Not to be confused with Boston Latin Academy.This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Boston Latin School – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (June 2023) (Learn how and when to remove this template message) Boston Latin SchoolLogo as of 2019Address78 ...
Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Oktober 2022. M.Soehadji (lahir 1944) adalah seniman Indonesia asal Jepara yang menggeluti dan mengembangkan seni kriya khususnya dari bahan kayu jepara.[1] Pendidikan M. Soehadji tertarik dengan seni kriya sejak ia sekolah di Sekolah Teknik Menengah (STM). ...
Metro-ongeluk bij Valencia Spoorwegongeval Een metro van Lijn 1. Overzicht Datum 3 juli 2006 Type ramp Ontsporing Oorzaak Snelheidsoverschrijding[1][2] Locatie Valencia Aantal treinen 1 Doden 42[1][2][3][4] tot 43[4][5][6] Gewonden 43 Betrokken trein(en) Treintype Metro Route Lijn 1 Portaal Verkeer & Vervoer Op maandag 3 juli 2006 vond er een metro-ongeluk bij Valencia plaats. De metro ontspoorde tus...
This article is part of the series:Anglo-Saxonsociety and culture People Settlement Women History Language Language Literature Runes Material culture Architecture Art Burial Coins Dress Glass Weaponry Power and organization Charters Government Law Monarchs and kingdoms Warfare Military Religion Christianity Paganism vte Staller is an Anglo-Saxon title that was held by various high-ranking officials of the crown during the 11th century. It ceased to be used in the 1070s. Its origin, and exact ...
Cet article est une ébauche concernant le jeu vidéo. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) (voir l’aide à la rédaction). Mobile Suit Gundam SEEDDestinyDéveloppeur BandaiÉditeur BandaiDate de sortie JAP : 25 novembre 2004 Genre CombatMode de jeu Un joueurPlate-forme Console(s) portable(s) :Game Boy Advancemodifier - modifier le code - modifier Wikidata Mobile Suit Gundam SEED: Destiny est un jeu vidéo de combat développé et édité par ...
Former railway station in Mashike, Hokkaido, Japan Mashike Station増毛駅Station building, July 2015General informationOperated byJR HokkaidoLine(s)Rumoi Main LineHistoryOpened5 November 1921 (1921-11-05)Closed4 December 2016 (2016-12-04) Mashike Station (増毛駅, Mashike-eki) was a railway station on the Rumoi Main Line in Mashike, Hokkaido, Japan, operated by Hokkaido Railway Company (JR Hokkaido). The station closed on 4 December 2016. Lines Mashike Statio...
College and university ranking system America's Top Colleges is an annual Forbes ranking of colleges and universities in the United States, first published in 2008. History Forbes rated Princeton University the country's best college in its inaugural (2008) list.[1] The United States Military Academy at West Point took the top honor the following year.[2] Williams College was ranked first both in 2010 and 2011, and Princeton returned to the top spot in 2012.[3][4...
Albanian secret police This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Sigurimi – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (April 2020) (Learn how and when to remove this template message) Directorate of State SecurityDrejtoria e Sigurimit të ShtetitSigurimiAgency overviewFormed10 December 1944Dissolved1...
1st KZN Entertainment AwardsOfficial posterDateDecember 15, 2020 (2020-12-15)VenueDurban ICC[1]CountrySouth AfricaPresented bySomizi Mhlongo Pearl ThusiTelevision/radio coverageNetworkBET AfricaRelatedMetro FM Awards KZN Entertainment Awards · 2nd → The 1st KZN Entertainment Awards were held at Durban ICC, KwaZulu-Natal, South Africa on December 15, 2020, were hosted by Somizi Mhlongo and Pearl Thusi, aired live on BET Africa.[2][3][...
1992 Indian filmRaatRaatriRelease poster in HindiDirected byRam Gopal VarmaWritten byRam Gopal VarmaUttej (Telugu dialogues)Produced byRam Gopal VarmaBoney Kapoor (Presenter)StarringRevathiCinematographyTejaEdited byShankarMusic byMani SharmaProductioncompanyVarma CreationsRelease date7 February 1992Running time127 minutesCountryIndiaLanguagesHindiTelugu Raat in Hindi or Raatri (transl. Night) in Telugu is a 1992 Indian supernatural horror film written and directed by Ram Gopal Varma. T...
High school in Union County, New Jersey, United States Westfield High SchoolAddress550 Dorian RoadWestfield, Union County, New Jersey 07090United StatesCoordinates40°38′39″N 74°20′57″W / 40.6442509°N 74.3491722°W / 40.6442509; -74.3491722[1]InformationTypePublic high schoolEstablished18691951 (current location)School districtWestfield Public SchoolsNCES School ID341776005764[2]PrincipalMary AsfendisFaculty151.2 FTEs[2]Grades9–12Enr...
American rock group This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: The Young Fresh Fellows – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (January 2017) (Learn how and when to remove this template message) Young Fresh Fellows in Galicia, Spain The Young Fresh Fellows are an American alternative rock group, t...