En matemàtiques, una sèrie hipergeomètrica és una sèrie de potències on el k-èsim coeficient de la sèrie és una funció racional de k. Si la sèrie convergeix, defineix una funció hipergeomètrica, el seu domini és qualsevol subconjunt dels nombres complexos. Generalment, aquestes funcions hipergeomètriques es representen mitjançant la notació pFq(a1,a₂,... ;b1, b₂,...;z). El primer cas estudiat correspon a la sèrie hipergeomètrica ordinària o gaussiana ₂F1(a,b;c;z), que va ser estudiada sistemàticament per Carl Friedrich Gauss, tot i que anteriorment, Leonhard Euler ja havia estudiat aquest tipus d'estructura.(Gauss (1813))
De la forma més general, es formula de la següent manera:
p F q ( a 1 , … , a p ; b 1 , … , b q ; z ) = ∑ n = 0 ∞ ( a 1 ) n ( a 2 ) n … ( a p ) n ( b 1 ) n ( b 2 ) n … ( b q ) n z n n ! {\displaystyle \,_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}(a_{2})_{n}\ldots (a_{p})_{n}}{(b_{1})_{n}(b_{2})_{n}\ldots (b_{q})_{n}}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}\,}
Hi ha certs valors de aj i bk per als quals el numerador o el denominador dels coeficients és 0.
Exceptuant aquests casos, el Criteri de d'Alembert pot ser aplicat i determina el radi de convergència.
La qüestió de convergència per a p=q+1 quan z està en el cercle unitari és més difícil. Está demostrat que le sèrie convergeix absolutament en z=1 si
Les funcions hipergeomètriques formen una vasta família de funcions que inclouen entre d'altres a les funcions de Bessel, la funció Gamma incompleta, la funció error, integrals el·líptiques i polinomis ortogonals. El que fa que això sigui així, és degut al fet que les funcions hipergeomètriques són solucions d'una classe molt general d'equacions diferencials ordinàries de segon ordre: les equacions diferencials hipergeomètriques.