Equacions de Friedmann

Les equacions de Friedmann són un conjunt d'equacions en cosmologia física que governen l'expansió mètrica de l'espai en models homogenis i isòtrops de l'Univers dins del context de la teoria de la relativitat general. Van ser descobertes per Alexander Friedmann el 1922^[1] a partir de les equacions de camp d'Einstein per a la mètrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker i un fluid amb una densitat d'energia (${\displaystyle \rho }$) i una pressió (${\displaystyle p}$) determinada.

Les equacions

Les equacions són:

${\displaystyle H^{2}\equiv \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G\rho +\Lambda c^{2}}{3}}-K{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}$

${\displaystyle 3{\frac {\ddot {a}}{a}}=\Lambda c^{2}-4\pi G(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}})}$

• ${\displaystyle \Lambda }$ és la constant cosmològica possiblement causada per l'energia del buit
• ${\displaystyle G}$ és la constant de gravitació
• ${\displaystyle c}$ és la velocitat de la llum
• ${\displaystyle a}$ és el factor d'escala de l'Univers
• ${\displaystyle K}$ és la curvatura gaussiana quan ${\displaystyle a=1}$ (per exemple, avui).

Si la forma de l'univers és hiperesfèrica i ${\displaystyle R}$ és el radi de curvatura (${\displaystyle R_{0}}$ en el moment actual), llavors ${\displaystyle a=R/R_{0}}$. Generalment, ${\displaystyle K \over a^{2}}$ és la curvatura gaussiana. Si ${\displaystyle K}$ és positiva, llavors l'Univers és hiperesfèric. Si ${\displaystyle K}$ és zero, l'Univers és pla i si ${\displaystyle K}$ és negatiu l'Univers és hiperbòlic. A més, ${\displaystyle \rho }$ i ${\displaystyle p}$ són funció de ${\displaystyle a}$. El paràmetre de Hubble, ${\displaystyle H}$, és la velocitat d'expansió de l'univers.

Aquestes equacions de vegades se simplifiquen redefinint la densitat d'energia i la pressió:

${\displaystyle \rho \rightarrow \rho -{\frac {\Lambda }{8\pi G}}}$

${\displaystyle p\rightarrow p+{\frac {\Lambda c^{2}}{8\pi G}}}$

per a obtenir:

${\displaystyle H^{2}\equiv \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -K{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}$

${\displaystyle 3\,{\frac {\ddot {a}}{a}}=-4\pi G\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)}$

El paràmetre de Hubble pot canviar en el temps si altres elements de l'equació són dependents del temps, en particular la densitat d'energia, l'energia del buit i la curvatura. Avaluant el paràmetre de Hubble en el moment actual surt que la constant de Hubble és la constant de proporcionalitat de la llei de Hubble. Si s'aplica a un fluid amb una equació d'estat determinada, les equacions de Friedmann donen com a resultat l'evolució en el temps i la geometria de l'Univers com a funció de la densitat del fluid.

Alguns cosmòlegs anomenen la segona d'aquestes dues equacions l'equació d'acceleració i es reserven el terme equació de Friedmann només per a la primera equació.

El paràmetre de densitat

El paràmetre de densitat, ${\displaystyle \Omega }$, es defineix com la relació de la densitat actual, o observada, ${\displaystyle \rho }$ respecte a la densitat crítica ${\displaystyle \rho _{c}}$ de l'Univers de Friedmann. Una expressió per a la densitat crítica es troba assumint que ${\displaystyle \Lambda }$ és zero, com ho és per a tots els universos de Friedmann bàsics, i establint la curvatura ${\displaystyle K}$ igual a zero. Quan se substitueixen aquests paràmetres a la primera equació de Friedmann trobem que:

${\displaystyle \rho _{c}={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}}$

I l'expressió per al paràmetre de densitat, útil per a comparar diferents models cosmològics, és:

${\displaystyle \Omega \equiv {\frac {\rho }{\rho _{c}}}={\frac {8\pi G}{3H^{2}}}\rho }$

Aquest terme originalment va ser utilitzat com una manera de determinar la geometria del camp en el qual ${\displaystyle \rho _{c}}$ és la densitat crítica per a la qual la geometria és plana. Assumint una densitat d'energia del buit nul·la, si ${\displaystyle \Omega }$ és més gran que un, la geometria és tancada i l'Univers eventualment pararà la seva expansió i llavors es col·lapsarà. Si ${\displaystyle \Omega }$ és menor que u, serà obert i l'Univers s'expandirà per sempre. Tanmateix, també es poden sintetitzar els termes de curvatura i de l'energia del buit en una expressió més general per a en el cas que aquest paràmetre de densitat d'energia sigui exactemente igual a la unitat. Llavors és una qüestió de mesurar els diferents components, normalment designats per subíndexs. D'acord amb el model Lambda-CDM, hi ha importants components de ${\displaystyle \Omega }$ a causa de barions, matèria fosca freda i energia fosca. La geometria de l'espaitemps va ser mesurada pel satèl·lit WMAP estant a prop de ser una geometria plana, és a dir, el paràmetre de curvatura ${\displaystyle K}$ és aproximadament zero.

La primera Equació de Friedmann sovint s'escriu formalment amb els paràmetres de densitat.

${\displaystyle {\frac {H^{2}}{H_{0}^{2}}}=\Omega _{R}a^{-4}+\Omega _{M}a^{-3}+\Omega _{\Lambda }-Kc^{2}a^{-2}}$

• ${\displaystyle \Omega _{R}}$ és la densitat de radiació actual;
• ${\displaystyle \Omega _{M}}$ és la densitat de matèria actual (la fosca més la bariònica);
• ${\displaystyle \Omega _{\Lambda }}$ és la constant cosmològica o la densitat de buit actual.

Els valors acceptats en l'actualitat per a aquests paràmetres són de 0,002 per a la densitat de radiació, 0,29±0,03 per a la densitat de matèria fosca i bariònica en l'actualitat, i de 0,71±0,03 per la densitat de l'energía del buit.

Equació de Friedmann reescalada

Establint que ${\displaystyle a={\tilde {a}}a_{0},\rho _{c}=3H_{0}^{2}/8\pi G,\rho =\rho _{c}\Omega ,t={\tilde {t}}/H_{0},\Omega _{c}=-K/H_{0}^{2}a_{0}^{2}}$ on a_0 i H_0 són separadament el factor d'escala i el paràmetre de Hubble actuals. Llavors podem trobar que:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {d{\tilde {a}}}{d{\tilde {t}}}}\right)^{2}+U_{\rm {eff}}({\tilde {a}})={\frac {1}{2}}\Omega _{c}}$

on ${\displaystyle U_{eff}({\tilde {a}})=\Omega {\tilde {a}}^{2}/2}$. Per a qualsevol forma del potencial efectiu ${\displaystyle U_{eff}({\tilde {a}})}$, hi ha una equació d'estat ${\displaystyle p=p(\rho )}$ que la produirà.

Referències

1. Friedmann, A: "Über die Krümmung des Raumes", Z. Phys. 10 (1922), 377-386. (Traducció a l'anglès a Gen. Rel. Grav. 31 (1999), 1991-2000.)