المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل

المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل

معلومات عامة

صنف فرعي من	مبرهنة ستوكس
جزء من	قائمة المبرهنات الرياضية
جانب من جوانب	تفاضل وتكامل
الاسم المختصر	HDI (بالألمانية)
سُمِّي باسم	إسحاق نيوتن غوتفريد لايبنتس
الموضوع الرئيس	مبرهنة أساسية أولى للتفاضل والتكامل [لغات أخرى] مبرهنة أساسية ثانية للتفاضل والتكامل [لغات أخرى]
يدرسه	تفاضل وتكامل

تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات

هذه الصورة توضح كيفية تقسيم السطح تحت المنحني إلى أجزاء مستطيلة لحساب مجموع الأجزاء.

النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل تربط بين عملتي التفاضل والتكامل.^[1][2][3]

الجزء الأول من النظرية ينص على أن التكامل المحدد يمكن عكسه بالتفاضل. الجزء الثاني من النظرية يمكن الشخص من حساب تكامل محدد لدالة باستخدام أحد اشتقاقاتها العكسية غير المحدودة كثرة. هذا الجزء من النظرية لهُ أهمية كبيرة عملياً لأنه يسهل حساب التكاملات المحددة بشكل كبير.

الصيغ الأساسية

تقول المبرهنة :

I.

لتكن f دالة حقيقية مستمرة معرفة على مجال مغلق [a, b]. إذا كانت F دالة معرفة للمتغير x ضمن المجال [a, b] فإن

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt}$

عندئذ :

${\displaystyle F'(x)=f(x)\,}$

من أجل كل قيمة ل x في (a, b).

II.

لتكن f دالة حقيقية معرفة على المجال المغلق [a, b]. إذا كانت F دالة معرفة بحيث تحقق

${\displaystyle f(x)=F'(x)\,}$ أيا كانت قيمة x ضمن المجال (a, b)عندئذ :

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)}$.

النتيجة

لتكن f دالة حقيقية معرفة على المجال المغلق [a, b]. إذا كانت F دالة معرفة بحيث تحقق

${\displaystyle f(x)=F'(x)\,}$ أيا كانت قيمة x ضمن المجال (a, b)

عندئذ

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt+F(a)}$

و

${\displaystyle f(x)={\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)dt}$.

مثال

لنحسب التكامل التالي:

${\displaystyle \displaystyle \int _{3}^{9}x^{3}\,\mathrm {d} x.}$

هنا لدينا ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$، أي يمكن استعمال ${\displaystyle F(x)={\dfrac {x^{4}}{4}}}$ كمشتق عكسي. بالتالي:

${\displaystyle \displaystyle \int _{3}^{9}x^{3}\,\mathrm {d} x=F(9)-F(3)={\dfrac {9^{4}}{4}}-{\dfrac {3^{4}}{4}}={\dfrac {6480}{4}}=1620.}$

مراجع

1. Gregory، James (1668). Geometriae Pars Universalis. Museo Galileo: Patavii: typis heredum Pauli Frambotti. مؤرشف من الأصل في 2020-03-06.
2. Malet، Antoni (1993). "James Gregorie on tangents and the "Taylor" rule for series expansions". Archive for History of Exact Sciences. سبرنجر. DOI:10.1007/BF00375656. Gregorie's thought, on the other hand, belongs to a conceptual framework strongly geometrical in character. (page 137)
3. Child، James Mark؛ Barrow، Isaac (1916). The Geometrical Lectures of Isaac Barrow. Chicago: Open Court Publishing Company. مؤرشف من الأصل في 2016-08-05.