قائمة الصيغ المحتوية ط

فيما يلي قائمة بأشهر الصيغ التي تحتي على الثابت الرياضي π. تحوي القائمة فقط على الصيغ التي تبدو جديرة بالملاحظة من خلال حديث المقال عنها خصوصا، أو من خلال المقالات المتعلقة بها عموما كما في التقريبات المستعملة لحساب ط.

الهندسة الكلاسيكية

${\displaystyle C=2\pi r=\pi d,\,}$

حيثC يمثل محيط دائرة، r هو نصف القطر وd القطر.

${\displaystyle A=\pi r^{2},\,}$

حيثA مساحة دائرة وr نصف قطرها.

${\displaystyle A=\pi ab,\,}$

حيثA مساحة قطع ناقص وa, b نصفي قطريه.

${\displaystyle V={4 \over 3}\pi r^{3},}$

حيث V حجم كرة وr نصف قطرها.

${\displaystyle A=4\pi r^{2}\,}$

حيث A المساحة السطحية لكرة وr نصف قطرها.

التحليل

تكاملات

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\text{sech}}(x)dx=\pi }$

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}$ (انظر π)

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\pi }$ (انظر π)

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\pi }$ (شكل تكاملي لـ arctan أو معكوس الظل على نطاقها الداخلي معطيا الفترة ظا).

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}$ (انظر أيضا توزيع طبيعي).

${\displaystyle \oint {\frac {dz}{z}}=2\pi i}$ (عندما يلتف مسار التكامل مرة باتجاه عكس عقارب الساعة حول الصفر. انظر أيضا صيغة كوشي التكاملية)

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{x^{4}(1-x)^{4} \over 1+x^{2}}\,dx={22 \over 7}-\pi }$ (انظر أيضا إثبات أن 22/7 أكبر من π).

متسلسلات لانهائية ذات كفاءة

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}={\frac {\pi }{2}}}$ (انظر أيضاً مضروب ثنائي)

${\displaystyle 12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}={\frac {1}{\pi }}}$ (انظرالإخوان شودنوفسكي)

${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}={\frac {1}{\pi }}}$ (انظر سرينفاسا أينجار رامانجن)

${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{6^{5}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {((4k)!)^{2}(6k)!}{9^{k+1}(12k)!(2k)!}}\left({\frac {127169}{12k+1}}-{\frac {1070}{12k+5}}-{\frac {131}{12k+7}}+{\frac {2}{12k+11}}\right)=\pi }$^[1]

المتسلسلات التالية مناسبة لحساب مراتب اختيارية من π:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)=\pi }$ (انظر صيغة Bailey-Borwein-Plouffe)

${\displaystyle {\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)=\pi }$

سلاسل لامنتهية أخرى

${\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$   (انظر أيضا مسألة بازل ودالة زيتا)

${\displaystyle \zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}}$

${\displaystyle \zeta (2n)={\frac {1}{1^{2n}}}+{\frac {1}{2^{2n}}}+{\frac {1}{3^{2n}}}+{\frac {1}{4^{2n}}}+\cdots =(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots =\arctan {1}={\frac {\pi }{4}}}$   (انظر صيغة لايبنتس ل π)

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{8}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{3}}}={\frac {1}{1^{3}}}-{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}-{\frac {1}{7^{3}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{3}}{32}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{4}}}={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+{\frac {1}{7^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{96}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{5}}}={\frac {1}{1^{5}}}-{\frac {1}{3^{5}}}+{\frac {1}{5^{5}}}-{\frac {1}{7^{5}}}+\cdots ={\frac {5\pi ^{5}}{1536}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{6}}}={\frac {1}{1^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+{\frac {1}{5^{6}}}+{\frac {1}{7^{6}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{6}}{960}}}$

${\displaystyle \pi =3+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(n-1)(2n-1)}}=3+{\frac {1}{{2}\cdot {1}\cdot {3}}}-{\frac {1}{{3}\cdot {2}\cdot {5}}}+{\frac {1}{{4}\cdot {3}\cdot {7}}}-{\frac {1}{{5}\cdot {4}\cdot {9}}}+\cdots }$   (مادهافا السنغماراي)

${\displaystyle \pi ={1}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{12}}-{\frac {1}{13}}+\cdots }$   (Euler, 1748)

يتم تعيين الإشارات كما يلي. إذا كان المقام عدد أولي على الصورة (4m - 1): الإشارة موجبة; إذا كان المقام عدد أولي على الصورة (4m + 1): إشارة سالبة; للأعداد المتراكبة: حاصل ضرب إشارات عواملها; العامل 2 له إشارة موجبة.^[2]

صيغ مثيلة-ماتشن

طالع أيضًا: صيغة مشابهة لصيغة ماشن

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$ (الأصلية صيغة جون ماكن)

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{2}}-\arctan {\frac {1}{7}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}}$

مضاريب لا منتهية

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {16}{15}}\cdot {\frac {36}{35}}\cdot {\frac {64}{63}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}}$ (انظر أيضا ضرب واليس)

صيغة فيتا:

${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \cdots ={\frac {2}{\pi }}}$

كسور مستمرة ثلاثية

${\displaystyle \pi ={3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+\ddots \,}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}\,}$

لتفاصيل أكثر خول هذه المتطابقة، انظرصيغة أويلر للكسر المستمر.

(انظر أيضا كسر مستمر وكسر مستمر معمم.)

منوعات

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$ (تقريب ستيرلنغ)

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0\;}$ (متطابقة أويلر)

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\varphi (k)\sim {\frac {3n^{2}}{\pi ^{2}}}}$ (انظر مؤشر أويلر)

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}\sim {\frac {6n}{\pi ^{2}}}}$ (انظرمؤشر أويلر)

${\displaystyle \Gamma \left({1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}}$ (انظر أيضا دالة غاما)

${\displaystyle \pi ={\frac {\Gamma \left({1/4}\right)^{4/3}\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})^{2/3}}{2}}}$ (حيث أن agm هو المتوسط الحسابي الهندسي)

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}(n\;{\bmod {\;}}k)=1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}}$ (حيث mod هي دالة باقي القسمة)

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }10^{n+2}\cdot \sin({\frac {1}{\underbrace {5555} _{\mathrm {n\;digits} }}})=\pi }$ (حيث أن دالة الجيب sin مقدرة بالدرجات وليس بالراديان هنا)

فيزياء

• الثابت الكوني:

${\displaystyle \Lambda ={{8\pi G} \over {3c^{2}}}\rho }$

• مبدأ الريبة:

${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}}$

• معادلة آينشتين للمجال في النسبية العامة:

${\displaystyle R_{ik}-{g_{ik}R \over 2}+\Lambda g_{ik}={8\pi G \over c^{4}}T_{ik}}$

• قانون كولوم في القوة الكهربائية:

${\displaystyle F={\frac {\left|q_{1}q_{2}\right|}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}}$

• نفاذية الفراغ المغناطيسية:

${\displaystyle \mu _{0}=4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm {N/A^{2}} \,}$

• قانون كيبلر الثالث للحركة الكوكبية:

${\displaystyle {\frac {R^{3}}{T^{2}}}={\frac {GM}{4\pi ^{2}}}}$

• دورة رقاص بسيط ذو مطال صغير:

${\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}$

انظر أيضا

• ط

ملاحظات

1. Cetin Hakimoglu-Brown Derivation of Rapidly Converging Infinite Series نسخة محفوظة 31 مارس 2017 على موقع واي باك مشين.
2. كارل بنجامين بوير, A History of Mathematics, Chapter 21.