دالة أويلر هي دالة جدائية أو ضربية أي أنه إذا كان m و n أوليين فيما بينهما، إذا:
التاريخ والتسمية والرمز المستعل
أبدع ليونهارت أويلر هذه الدالة عام 1763م و مع ذلك في ذلك الوقت لم يقم أويلر بإختيار أي رمز للدلالة عليها. في منشور عام 1784، درس أويلر هذه الدالة بشكل أكبر، واختار الحرف اليوناني للدلالة عليها: كتب لـ «عدد الأعداد الأقل من D ، والتي ليس لها قاسم مشترك معها».
يختلف هذا التعريف عن التعريف الحالي للدالة الكلية عند D = 1 ولكنه بخلاف ذلك هو نفسه. التدوين القياسي الحالي (φ(A يأتي من أطروحة غاوس استفسارات حسابية والتي نشرت عام 1801. على الرغم من أن غاوس لم يستخدم الأقواس حول المتغير وكتب φA. بالتالي، غالبًا ما تسمى دالة فاي لأويلر أو ببساطة دالة فاي.
حساب دالة أويلر
حيث يمتد هذا الجداء على القواسم الأولية المختلفة الواحد منهم عن الآخر.
مثال
قيمة دالة أويلر للعدد أولي
حيث p عدد أولي، ودالة أويلر تأخذ هذه القيمة لكل الأعداد الأولية، والسبب يرجع لأن كل الأعداد الأصغر قطعا من p هي اولية مع p.
مثال
، لأن 19 عدد أولي.
قيمة دالة أويلر للقوة عدد أولي (أس)
، حيث p عدد أولي و n عدد صحيح موجب.
مثال
.
برهان لصيغة جداء أويلر
تنص المبرهنة الأساسية في الحسابيات على أنه إذا كان n > 1 فإنه يمكن التعبير على n عبر جداء من الأعداد الأولية ، بما أن مؤشر أويلر هي دالة جدائية، لدينا
بعض من قيم الدالة
بيان لمائة قيمة الأولى لدالة مؤشر أويلر
φ(n) for 1 ≤ n ≤ 143
+
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0
—
1
1
2
2
4
2
6
4
6
4
10
12
4
12
6
8
8
16
6
18
8
12
10
22
24
8
20
12
18
12
28
8
30
16
20
16
24
36
12
36
18
24
16
40
12
42
20
24
22
46
48
16
42
20
32
24
52
18
40
24
36
28
58
60
16
60
30
36
32
48
20
66
32
44
24
70
72
24
72
36
40
36
60
24
78
32
54
40
82
84
24
64
42
56
40
88
24
72
44
60
46
72
96
32
96
42
60
40
100
32
102
48
48
52
106
108
36
108
40
72
48
112
36
88
56
72
58
96
120
32
110
60
80
60
100
36
126
64
84
48
130
132
40
108
66
72
64
136
44
138
48
92
70
120
على سبيل المثال، العدد الذي يقع في تقاطع العمود الذي يحمل رقم 5 مع الخط الذي يحمل العدد 132 هو 136. سبب ذلك هو ما يلي:
. ويعود كون تصغر بواحد 137 إلى كون العدد 137 أوليا.
إذا كان p عددا أوليا، فإن φ(p) = p − 1. في عام 1932، طرح ديريك هنري ليهمر السؤال التالي: هل هناك من عدد طبيعي n مؤلف (أي غير أولي)، حيث φ(n) يقسم n -1 ؟ لا يعلم حاليا أي جواب على هذا السؤال.
في عام 1933، برهن على أنه إذا كان هذا العدد موجودا، فإنه حتما، فردي وخال من المربعات، وقابل للقسمة على سبعة أعداد أولية على الأقل (أي أن ω(n) ≥ 7).